Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/136

cepta index numeri ${\textstyle i}$ est ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$, index fiet ${\textstyle {\frac {3}{4}}(p-1)}$, dum pro basi accipitur ${\textstyle h^{\mu }}$, designante ${\textstyle \mu }$ integrum positivum formae ${\textstyle 4n+3}$ ad ${\textstyle p-1}$ primum, e.g. ipsum numerum ${\textstyle p-2}$, et vice versa. Quare semissis altera radicum primitivarum conciliat numero ${\textstyle i}$ indicem ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$, altera indicem ${\textstyle {\frac {3}{4}}(p-1)}$, manifestoque pro illis basibus ${\textstyle -i}$ indicem ${\textstyle {\frac {3}{4}}(p-1)}$, pro his indicem ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$ habebit.

VII. Quoties modulus est numerus primus realis positivus formae ${\textstyle 4n+3}$, puta ${\textstyle =q}$, adeoque ${\textstyle p=qq}$, indices omnium numerorum realium per ${\textstyle q+1}$ divisibiles erunt; denotante enim ${\textstyle t}$ indicem numeri realis ${\textstyle k}$, erit, propter ${\textstyle k^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}}$, ${\textstyle (q-1)t\equiv 0{\pmod {qq-1}}}$, adeoque ${\textstyle {\frac {t}{q+1}}}$ integer. Perinde indices numerorum pure imaginariorum ut ${\textstyle ki}$ per ${\textstyle {\frac {1}{2}}(q+1)}$ divisibiles erunt. Patet itaque, radices primitivas pro talibus modulis inter solos numeros mixtos quaerendas esse.

VIII. Contra pro modulo ${\textstyle m}$, qui est numerus primus complexus mixtus, (cuiusque proin norma ${\textstyle p}$ est numerus primus realis formae ${\textstyle 4n+1}$), radices primitivae quaelibet etiam inter numeros reales eligi possunt, inter quos completum adeo systema residuorum incongruorum monstrare licet (art. 40). Manifesto autem quilibet numerus realis, qui est radix primitiva pro modulo complexo ${\textstyle m}$, simul erit in arithmetica numerorum realium radix primitiva pro modulo ${\textstyle p}$, et vice versa.

56.

Etiamsi theoria residuorum et non-residuorum quadraticorum in arithmetica numerorum complexorum sub ipsa theoria residuorum biquadraticorum contenta sit, tamen antequam ad hanc transeamus, illius theoremata palmaria hic seorsim proferemus: brevitatis vero caussa de solo casu principali, ubi modulus est numerus primus complexus (impar), hic loquemur.

Sit ${\textstyle m}$ talis modulus, atque ${\textstyle p}$ eius norma. Manifesto quivis integer (per ${\textstyle m}$ non divisibilis, quod hic semper subintelligendum) quadrato secundum modulum ${\textstyle m}$ congruus fieri vel potest vel non potest, prout illius index, radice aliqua primitiva pro basi accepta, par est vel impar; in casu priori ille integer residuum quadraticum ipsius ${\textstyle m}$ dicetur, in posteriori non-residuum. Hinc concluditur, inter ${\textstyle p-1}$ numeros qui systema completum residuorum incongruorum (per ${\textstyle m}$ non divisibilium) exhibeant, semissem ad residua quadratica, semissem alteram ad non-residua quadratica referri. Cuivis vero alii numero extra illud systema idem