Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/131

ubi ${\textstyle n}$ est integer realis positivus, ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. integri reales vel imaginarii, ${\textstyle m}$ autem integer complexus: vocabimus hic quoque radicem congruentiae ${\textstyle X\equiv 0{\pmod {m}}}$ quemlibet integrum, qui pro ${\textstyle x}$ substitutus ipsi ${\textstyle X}$ valorem per modulum ${\textstyle m}$ divisibilem conciliat. Solutiones per radices secundum modulum congruas non spectabimus tamquam diversas.

Quoties modulus est numerus primus, talis congruentia ordinis ${\textstyle n}$ hic quoque plures quam ${\textstyle n}$ solutiones diversas admittere non potest. Denotante ${\textstyle \alpha }$ integrum quemvis determinatum (complexum), ${\textstyle X}$ adiumento divisionis per ${\textstyle x-\alpha }$ indefinite ad formam ${\textstyle X=(x-\alpha )X^{\prime }+h}$ reduci potest, ita ut ${\textstyle h}$ fiat integer determinatus atque ${\textstyle X^{\prime }}$ functio ordinis ${\textstyle n-1}$ cum coëfficientibus integris. Iam quoties ${\textstyle \alpha }$ est radix congruentiae ${\textstyle X\equiv 0{\pmod {m}}}$, manifesto ${\textstyle h}$ divisibilis erit per ${\textstyle m}$, sive habebitur indefinite ${\textstyle X\equiv (x-\alpha )X^{\prime }{\pmod {m}}}$.

Perinde si denotante ${\textstyle \beta }$ integrum determinatum, ${\textstyle X^{\prime }}$ ad formam ${\textstyle (x-\beta )X^{\prime \prime }+h^{\prime }}$ reducitur, ${\textstyle X^{\prime \prime }}$ erit functio ordinis ${\textstyle n-2}$ cum coëfficientibus integris. Si vero ${\textstyle \beta }$ supponitur esse radix congruentiae ${\textstyle {X}\equiv 0}$, etiam satisfacere debet huic ${\textstyle (\beta -\alpha )X^{\prime }\equiv 0}$, nec non huic ${\textstyle X^{\prime }\equiv 0}$, siquidem radices ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \beta }$ sunt incongruae, unde colligimus, etiam ${\textstyle h^{\prime }}$ per ${\textstyle m}$ divisibilem esse debere, sive indefinite ${\textstyle X\equiv (x-\alpha )(x-\beta )X^{\prime \prime }{\pmod {m}}}$.

Simili modo accedente radice tertia ${\textstyle \gamma }$ prioribus incongrua, habebimus indefinite ${\textstyle X\equiv (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )X^{\prime \prime \prime }}$, ita ut ${\textstyle X^{\prime \prime \prime }}$ sit functio ordinis ${\textstyle n-3}$ cum coëfficientibus integris. Eodem modo ulterius procedere licet, patetque simul, coëfficientem termini altissimi in singulis functionibus esse ${\textstyle =A}$, quem per ${\textstyle m}$ non divisibilem esse supponere licet, alioquin enim congruentia ${\textstyle X\equiv 0}$ essentialiter ad ordinem inferiorem referenda esset. Quoties itaque adsunt ${\textstyle n}$ radices incongruae, puta ${\textstyle \alpha ,\beta ,\gamma \ldots \nu }$, habebimus indefinite

$$X\equiv A(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots (x-\nu ){\pmod {m}}$$

quapropter substitutio novi valoris singulis ${\textstyle \alpha ,\beta ,\gamma \ldots \nu }$ incongrui certo ipsi ${\textstyle X}$ valorem per ${\textstyle m}$ non divisibilem conciliaret, unde theorematis veritas sponte sequitur.

Ceterum haec demonstratio essentialiter convenit cum ea, quam in Disq. Ar. art. 43 tradidimus, et cuius singula momenta pro numeris complexis perinde valent ac pro realibus.