Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/130

essentialiter non differat ab ea, quae pro arithmetica numerorum realium locum habet, atque in Disquisitionibus Arithmeticis copiose exposita est, praecipua momenta hic adscripsisse sufficiet.

I. Congruentia ${\textstyle mt\equiv 1{\pmod {m^{\prime }}}}$ aequivalet aequationi indeterminatae ${\textstyle mt+m^{\prime }u=1}$, et si huic satisfit per valores ${\textstyle t=h,u=h^{\prime }}$, illius solutio generaliter exhibetur per ${\textstyle t\equiv h{\pmod {m^{\prime }}}:}$ conditio autem solubilitatis est, ut modulus ${\textstyle m^{\prime }}$ cum coëfficiente ${\textstyle m}$ divisorem communem non habeat.

II. Solutio congruentiae ${\textstyle ax+b\equiv c{\pmod {M}}}$ in casu eo, ubi ${\textstyle a}$, ${\textstyle M}$ sunt inter se primi, pendet a solutione huius

$$at\equiv 1{\pmod {M}}$$

cui si satisfacit ${\textstyle t=h}$, illius solutio generalis continetur in formula

$$x\equiv (c-b)h{\pmod {M}}$$

III. Congruentia ${\textstyle ax+b\equiv c{\pmod {M}}}$ in casu eo, ubi ${\textstyle a}$, ${\textstyle M}$ divisorem communem ${\textstyle \lambda }$ habent, aequivalet huic

$${\frac {a}{\lambda }}\cdot x\equiv {\frac {c-b}{\lambda }}{\pmod {\frac {M}{\lambda }}}$$

Dum itaque pro ${\textstyle \lambda }$ adoptatur divisor communis maximus numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle M}$, solutio congruentiae propositae ad casum praecedentem reducitur, patetque, ad resolubilitatem requiri et sufficere, ut ${\textstyle \lambda }$ etiam differentiam ${\textstyle c-b}$ metiatur.

49.

Hactenus elementaria tantum attigimus, quae tamen nexus caussa omittere non licuit. In disquisitionibus altioribus arithmetica numerorum complexorum arithmeticae realium in eo similis est, quod theoremata elegantiora et simpliciora prodeunt, dum tales modulos, qui sunt numeri primi, solos admittimus: revera illorum extensio ad modulos compositos plerumque prolixior quam difficilior est, et laboris potius quam artis. Quapropter in sequentibus imprimis de modulis primis agetur.

50.

Denotante ${\textstyle {X}}$ functionem indeterminatae ${\textstyle x}$ talem

$$Ax^{n}+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+{\text{etc.}}+Mx+N$$