Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/123

42.

Referendo itaque omnes numeros complexos secundum modulum datum inter se congruos ad eandem classem, incongruos ad diversas, omnino aderunt ${\textstyle p}$ classes totum numerorum integrorum ambitum exhaurientes, denotante ${\textstyle p}$ normam moduli. Complexus totidem numerorum e singulis classibus desumtorum exhibebit systema completum residuorum incongruorum, quale in artt. 40, 41 assignavimus. Et in hocce quidem systemate electio residuorum classes suas quasi repraesentantium innixa erat principio ei, ut in quavis classe adoptaretur residuum ${\textstyle x+yi}$ tale, pro quo ${\textstyle y}$ habeat valorem minimum, atque inter omnia, quibus idem valor minimus ipsius ${\textstyle y}$ inest, id, pro quo valor ipsius ${\textstyle x}$ est minimus, exclusis valoribus negativis tum pro ${\textstyle x}$ tum pro ${\textstyle y}$. Sed ad alia proposita aliis principiis uti conveniet, imprimisque notandus est modus is, ubi residua talia adoptantur, quae per modulum divisa offerunt quotientes simplicissimos. Manifesto si ${\textstyle \alpha +\beta i}$, ${\textstyle \alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }i}$, ${\textstyle \alpha ^{\prime \prime }+\beta ^{\prime \prime }i}$ etc. sunt quotientes e divisione numerorum congruorum per modulum oriundi, differentiae tum quantitatum ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \alpha ^{\prime }}$, ${\textstyle \alpha ^{\prime \prime }}$ etc. inter se erunt numeri integri, tum differentiae inter quantitates ${\textstyle \beta }$, ${\textstyle \beta ^{\prime }}$, ${\textstyle \beta ^{\prime \prime }}$ etc., patetque, semper adesse residuum unum, pro quo ${\textstyle \alpha }$ et ${\textstyle \beta }$ iaceant inter limites ${\textstyle 0}$ et 1, limite priori incluso, posteriori excluso: tale residuum simpliciter vocamus residuum minimum. Si magis placet, loco illorum limitum etiam hi adoptari possunt ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ et ${\textstyle +{\frac {1}{2}}}$ (altero admisso, altero excluso): residuum tali limitationi respondens absolute minimum dicemus.

Circa haec residua minima offerunt se problemata sequentia.

43.

Residuum minimum numeri complexi dati ${\textstyle A+Bi}$ secundum modulum ${\textstyle a+bi}$, cuius norma ${\textstyle =p}$, invenitur sequenti modo. Si ${\textstyle x+yi}$ est residuum minimum quaesitum, erit ${\textstyle (x+yi)(a-bi)}$ residuum minimum producti ${\textstyle (A+Bi)(a-bi)}$ secundum modulum ${\textstyle (a+bi)(a-bi)}$, i.e. secundum modulum ${\textstyle p}$. Statuendo itaque

$$aA+bB=Fp+f,\quad aB-bA=Gp+g$$

ita ut ${\textstyle f}$, ${\textstyle g}$ sint residua minima numerorum ${\textstyle aA+bB}$, ${\textstyle aB-bA}$ secundum modulum ${\textstyle p}$, erit