Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/120

${\textstyle m}$, ${\textstyle m^{\prime }}$, ${\textstyle 1}$ formare proportionem. Sed uberiorem huius rei tractationem ad aliam occasionem nobis reservamus. Difficultates, quibus theoria quantitatum imaginariarum involuta putatur, ad magnam partem a denominationibus parum idoneis originem traxerunt (quum adeo quidam usi sint nomine absono quantitatum impossibilium). Si, a conceptibus, quos offerunt varietates duarum dimensionum, (quales in maxima puritate conspiciuntur in intuitionibus spatii) profecti, quantitates positivas directas, negativas inversas, imaginarias laterales nuncupavissemus, pro tricis simplicitas, pro caligine claritas successisset.

39.

Quae in art. praec. prolata sunt, ad quantitates complexas continuas referuntur: in arithmetica, quae tantummodo circa numeros integros versatur, schema numerorum complexorum erit systema punctorum aequidistantium et in rectis aequidistantibus ita dispositorum, ut planum infinitum in infinite multa quadrata aequalia dispertiant. Omnes numeri per numerum complexum datum ${\textstyle a+bi=m}$ divisibiles item infinite multa quadrata formabunt, quorum latera ${\textstyle =\surd (aa+bb)}$ sive areae ${\textstyle =aa+bb}$; quadrata posteriora ad priora inclinata erunt, quoties quidem neuter numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ est ${\textstyle =0}$. Cuivis numero per modulum ${\textstyle m}$ non divisibili respondebit punctum vel intra tale quadratum situm vel in latere duobus quadratis contiguo; posterior tamen casus locum habere nequit, nisi ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ divisorem communem habent: porro patet, numeros secundum modulum ${\textstyle m}$ congruos in quadratis suis locos congruentes occupare. Hinc facile concluditur, si colligantur omnes numeri intra quadratum determinatum siti, nec non omnes qui forte in duobus eius lateribus non oppositis iaceant, denique his adscribatur numerus per ${\textstyle m}$ divisibilis, haberi systema completum residuorum incongruorum secundum modulum ${\textstyle m}$, i.e. quemvis integrum alicui ex illis et quidem unico tantum congruum esse debere. Nec difficile foret ostendere, horum residuorum multitudinem aequalem esse moduli normae, puta ${\textstyle =aa+bb}$. Sed consultum videtur, hoc gravissimum theorema alio modo pure arithmetico demonstrare.

40.

Theorema. Secundum modulum complexum datum ${\textstyle m=a+bi}$, cuius norma ${\textstyle aa+bb=p}$, et pro quo ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ sunt numeri inter se primi, quilibet integer complexus congruus erit alicui residuo e serie ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots p-1}$, et non pluribus.