Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/119

tur, ${\textstyle p}$ cum aliquo numerorum ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ etc. identicum esse debere: sit e.g. ${\textstyle p=b}$. Hinc vero concludimus, esse vel ${\textstyle B=k+li}$, vel ${\textstyle B=k-li}$, i.e. vel ${\textstyle B=A}$, vel ${\textstyle B=P}$, utrumque contra hyp.

Ex hoc theoremate alterum, quod resolutio in factores primos unico tantum modo perfici potest, facillime derivatur, et quidem per ratiocinia iis, quibus in Disquisitionibus Arithmeticis pro numeris realibus usi sumus (art. 16), prorsus analoga: quapropter illis hic immorari superfluum foret.

38.

Progredimur iam ad congruentiam numerorum secundum modulos complexos. Sed in limine huius disquisitionis convenit indicare, quomodo ditio quantitatum complexarum intuitui subiici possit.

Sicuti omnis quantitas realis per partem rectae utrinque infinitae ab initio arbitrario sumendam, et secundum segmentum arbitrarium pro unitate acceptum aestimandam exprimi, adeoque per punctum alterum repraesentari potest, ita ut puncta ab altera initii plaga quantitates positivas, ab altera negativas repraesentent: ita quaevis quantitas complexa repraesentari poterit per aliquod punctum in plano infinito, in quo recta determinata ad quantitates reales refertur, scilicet quantitas complexa ${\textstyle x+iy}$ per punctum, cuius abscissa ${\textstyle =x}$, ordinata (ab altera lineae abscissarum plaga positive, ab altera negative sumta) ${\textstyle =y}$. Hoc pacto dici potest, quamlibet quantitatem complexam mensurare inaequalitatem inter situm puncti ad quod refertur atque situm puncti initialis, denotante unitate positiva deflexum arbitrarium determinatum versus directionem arbitrariam determinatam; unitate negativa deflexum aeque magnum versus directionem oppositam; denique unitatibus imaginariis deflexus aeque magnos versus duas directiones laterales normales.

Hoc modo metaphysica quantitatum, quas imaginarias dicimus, insigniter illustratur. Si punctum initiale per ${\textstyle (0)}$ denotatur, atque duae quantitates complexae ${\textstyle m}$, ${\textstyle m^{\prime }}$ ad puncta ${\textstyle M}$, ${\textstyle M^{\prime }}$ referuntur, quorum situm relative ad ${\textstyle (0)}$ exprimunt, differentia ${\textstyle m-m^{\prime }}$ nihil aliud erit nisi situs puncti ${\textstyle M}$ relative ad punctum ${\textstyle M^{\prime }}$: contria, producto ${\textstyle mm^{\prime }}$ repraesentante situm puncti ${\textstyle N}$ relative ad ${\textstyle (0)}$, facile perspicies, hunc situm perinde determinari per situm puncti ${\textstyle M}$ ad ${\textstyle (0)}$, ut situs puncti ${\textstyle M^{\prime }}$ determinatur per situm puncti cui respondet unitas positiva, ita ut haud inepte dicas, situs punctorum respondentium quantitatibus complexis ${\textstyle mm^{\prime }}$,