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tur productum primarii associati per ${\textstyle i,-1}$ vel ${\textstyle -i}$. Hoc pacto patet, quemvis numerum complexum compositum ${\textstyle M}$ reduci posse ad formam

$$M=i^{\mu }A^{\alpha }B^{\beta }C^{\gamma }\ldots$$

ita ut ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. sint numeri primi complexi primarii inaequales, atque ${\textstyle \mu =0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$ vel ${\textstyle 3}$. Circa hanc resolutionem theorema se offert, unico tantum modo eam fieri posse, quod theorema obiter quidem consideratum per se manifestum videri posset, sed utique demonstratione eget. Ad quam sternit viam sequens

Theorema. Productum ${\textstyle M=A^{\alpha }B^{\beta }C^{\gamma }\ldots }$, denotantibus ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. numeros primos complexos primarios diversos, divisibile esse nequit per ullum numerum primum complexum primarium, qui inter ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. non reperitur.

Dem. Sit ${\textstyle P}$ numerus primus complexus primarius inter ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. non contentus, sintque ${\textstyle p}$, ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ etc. normae numerorum ${\textstyle P}$, ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. Hinc facile colligitur, normam numeri ${\textstyle M}$ fore ${\textstyle =a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }}$ etc., unde hic numerus, si ${\textstyle M}$ per ${\textstyle {P}}$ divisibilis esset, per ${\textstyle p}$ divisibilis esse deberet. Quum singulae normae sint vel numeri primi reales (e serie ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 5}$, ${\textstyle 13}$, ${\textstyle 17}$ etc.), vel numerorum primorum realium quadrata (e serie ${\textstyle 9}$, ${\textstyle 49}$, ${\textstyle 121}$ etc.), sponte patet, illud evenire non posse, nisi ${\textstyle p}$ cum aliqua norma ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ etc. identica fiat: supponemus itaque ${\textstyle p=a}$. At quum ${\textstyle P}$, ${\textstyle A}$ per hyp. sint numeri primi complexi primarii non identici, facile perspicietur, haec simul consistere non posse, nisi ${\textstyle P}$, ${\textstyle A}$ sint numeri complexi imaginarii coniuncti, et proin ${\textstyle p=a}$ numerus primus realis impar, (non quadratum numeri primi): supponemus itaque ${\textstyle A=k+li}$, ${\textstyle P=k-li}$. Hinc (extendendo notionem et signum congruentiae ad numeros integros complexos) erit ${\textstyle A\equiv 2k{\pmod {P}}}$, unde facile colligitur

$$M\equiv 2^{\alpha }k^{\alpha }B^{\beta }C^{\gamma }\ldots {\pmod {P}}$$

Quapropter dum ${\textstyle M}$ per ${\textstyle P}$ divisibilis supponitur, erit etiam

$$2^{\alpha }k^{\alpha }B^{\beta }C^{\gamma }\ldots$$

per ${\textstyle P}$ divisibilis, adeoque norma huius numeri, quae fit

$$=2^{2\alpha }k^{2\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$$

divisibilis per ${\textstyle p}$. At quum 2 et ${\textstyle k}$ per ${\textstyle p}$ certo non sint divisibiles, hinc sequi