Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/117

quaestio oritur, num similis distinctio inter quaternos numeros complexos socios stabiliri possit, et pro utili haberi debeat. Ad quam decidendam perpendere oportet, principium distinctionis ita comparatum esse debere, ut productum duorum numerorum, qui inter socios suos pro primariis valent, semper fiat numerus primarius inter socios suos. At mox certiores fimus, tale principium omnino non dari, nisi distinctio ad numeros integros restringatur: quinadeo distinctio utilis ad numeros impares limitanda erit. Pro his vero finis propositus duplici modo attingi potest. Scilicet

I. Productum duorum numerorum ${\textstyle a+bi}$, ${\textstyle a^{\prime }+b^{\prime }i}$ ita comparatorum, ut ${\textstyle a}$, ${\textstyle a^{\prime }}$ sint formae ${\textstyle 4n+1}$, atque ${\textstyle b}$, ${\textstyle b^{\prime }}$ pares, eadem proprietate gaudebit, ut pars realis fiat ${\textstyle \equiv 1{\pmod {4}}}$, atque pars imaginaria par. Et facile perspicietur, inter quaternos numeros impares associatos unum solum sub illa forma contentum esse.

II. Si numerus ${\textstyle a+bi}$ ita comparatus est, ut ${\textstyle a-1}$ et ${\textstyle b}$ vel simul pariter pares sint, vel simul impariter pares, eius productum per numerum complexum eiusdem formae eadem forma gaudebit, facileque perspicitur, e quaternis numeris imparibus associatis unum solum sub hac forma contineri.

Ex his duobus principiis aeque fere idoneis posterius adoptabimus, scilicet inter quaternos numeros complexos impares associatos eum pro primario habebimus, qui secundum modulum ${\textstyle 2+2i}$ unitati positivae fit congruus: hoc pacto plura insignia theoremata maiori concinnitate enunciare licebit. Ita e.g. sunt numeri primi complexi primarii ${\textstyle -1+2i}$, ${\textstyle -1-2i}$, ${\textstyle +3+2i}$, ${\textstyle +3-2i}$, ${\textstyle +1+4i}$, ${\textstyle +1-4i}$ etc., nec non reales ${\textstyle -3}$, ${\textstyle -7}$, ${\textstyle -11}$, ${\textstyle -19}$ etc. manifesto semper signo negativo afficiendi. Numero complexo impari primario coniunctus quoque primarius erit.

Pro numeris semiparibus et paribus in genere similis distinctio nimis arbitraria parumque utilis foret. E numeris primis associatis ${\textstyle 1+i}$, ${\textstyle 1-i}$, ${\textstyle -1+i}$, ${\textstyle -1-i}$ unum quidem prae reliquis pro primario eligere possumus, sed ad compositos talem distinctionem non extendemus.

37.

Si inter factores numeri complexi compositi inveniuntur tales, qui ipsi sunt compositi, atque hi iterum in factores suos resolvuntur, manifesto tandem ad factores primos delabimur, i.e. quivis numerus compositus in factores primos resolubilis est. Inter quos si qui non primarii reperiuntur, singulorum loco substitua