Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/115

Numeri reales negativi manifesto easdem denominationes servant, quas positivi, idemque valet de numeris imaginariis puris.

Superest itaque, ut inter numeros imaginarios mixtos, compositos a primis dignoscere doceamus, quod fit per sequens

Theorema. Quivis numerus integer imaginarius mixtus ${\textstyle a+bi}$ est vel numerus primus complexus, vel numerus compositus, prout ipsius norma est vel numerus primus realis, vel numerus compositus.

Dem. I. Quoniam numeri complexi compositi norma semper est numerus compositus, patet, numerum complexum, cuius norma sit numerus primus realis, necessario esse debere numerum primum complexum. Q. E. P.

II. Si vero norma ${\textstyle aa+bb}$ est numerus compositus, sit ${\textstyle p}$ numerus primus positivus realis illam metiens. Duo iam casus distinguendi sunt.

1) Si ${\textstyle p}$ est formae ${\textstyle 4n+3}$, constat, ${\textstyle aa+bb}$ per ${\textstyle p}$ divisibilem esse non posse, nisi ${\textstyle p}$ simul metiatur ipsos ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, unde ${\textstyle a+bi}$ erit numerus compositus.

2) Si ${\textstyle p}$ non est formae ${\textstyle 4n+3}$, certo in duo quadrata decomponi poterit: statuemus itaque ${\textstyle p=\alpha \alpha +\beta \beta }$. Quum fiat

$$(a\alpha +b\beta )(a\alpha -b\beta )=aa(\alpha \alpha +\beta \beta )-\beta \beta (aa+bb)$$

adeoque per ${\textstyle p}$ divisibilis, ${\textstyle p}$ certo alterutrum factorem ${\textstyle a\alpha +b\beta }$, ${\textstyle a\alpha -b\beta }$ metietur, et quum insuper fiat

$$(a\alpha +b\beta )^{2}+(b\alpha -a\beta )^{2}=(a\alpha -b\beta )^{2}+(b\alpha +a\beta )^{2}=(aa+bb)(\alpha \alpha +\beta \beta )$$

adeoque per ${\textstyle pp}$ divisibilis, patet, in casu priori etiam ${\textstyle b\alpha -a\beta }$, in posteriori ${\textstyle b\alpha +a\beta }$ per ${\textstyle p}$ divisibilem esse debere. Quare in casu priori

$${\frac {a+bi}{\alpha +\beta i}}={\frac {a\alpha +b\beta }{p}}+{\frac {b\alpha -a\beta }{p}}\cdot i$$

erit numerus integer complexus, in posteriori autem

$${\frac {a+bi}{\alpha -\beta i}}={\frac {a\alpha -b\beta }{p}}+{\frac {b\alpha +a\beta }{p}}\cdot i$$

integer erit. Quum itaque numerus propositus vel per ${\textstyle \alpha +\beta i}$ vel per ${\textstyle \alpha -\beta i}$ divisibilis sit, quotientisque norma ${\textstyle ={\frac {aa+bb}{p}}}$ per hyp. ab unitate diversa fiat, patet, ${\textstyle a+bi}$ in utroque casu esse numerum complexum compositum. Q. E. S.