Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/114

32.

Algorithmus operationum arithmeticarum circa numeros complexos vulgo notus est: divisio, per introductionem normae, ad multiplicationem reducitur, quum habeatur

$${\frac {a+bi}{c+di}}=(a+bi)\cdot {\frac {c-di}{cc+dd}}={\frac {ac+bd}{cc+dd}}+{\frac {bc-ad}{cc+dd}}\cdot i$$

Extractio radicis quadratae perficitur adiumento formulae

$$\surd (a+bi)=\pm (\surd {\frac {\surd (aa+bb)+a}{2}}+i\surd {\frac {\surd (aa+bb)-a}{2}})$$

si ${\textstyle b}$ est numerus positivus, vel huius

$$\surd (a+bi)=\pm (\surd {\frac {\surd (aa+bb)+a}{2}}-i\surd {\frac {\surd (aa+bb)-a}{2}})$$

si ${\textstyle b}$ est numerus negativus. Usui transformationis quantitatis complexae ${\textstyle a+bi}$ in ${\textstyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ ad calculos facilitandos, non opus est hic immorari.

33.

Numerum integrum complexum, qui in factores duos ab unitatibus diversos^[1] resolvi potest, vocamus numerum complexum compositum; contra numerus primus complexus dicetur, qui talem resolutionem in factores non admittit. Hinc statim patet, quemvis numerum compositum realem etiam esse compositum complexum. At numerus primus realis poterit esse numerus complexus compositus, et quidem hoc valebit de numero ${\textstyle 2}$ atque de omnibus numeris primis realibus positivis formae ${\textstyle 4n+1}$ (excepto numero 1), quippe quos in bina quadrata positiva decomponi posse constat; puta, fit ${\textstyle 2=(1+i)(1-i)}$, ${\textstyle 5=(1+2i)(1-2i)}$, ${\textstyle 13=(3+2i)(3-2i)}$, ${\textstyle 17=(1+4i)(1-4i)}$ etc.

Contra numeri primi reales positivi formae ${\textstyle 4n+3}$ semper sunt numeri primi complexi. Si enim talis numerus ${\textstyle q}$ esset ${\textstyle =(a+bi)(\alpha +\beta i)}$, foret etiam ${\textstyle q=(a-bi)(\alpha -\beta i)}$, adeoque ${\textstyle qq=(aa+bb)(\alpha \alpha +\beta \beta )}$: at ${\textstyle qq}$ unico tantum modo in factores positivos unitate maiores resolvi potest, puta in ${\textstyle q\times q}$, unde esse deberet ${\textstyle q=aa+bb=\alpha \alpha +bb}$, Q.E.A; quum summa duorum quadratorum nequeat esse formae ${\textstyle 4n+3}$.

1. sive, quod idem est, tales, quorum normae unitate sint maiores.