Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/113

Unitatibus in hac doctrina utimur quaternis, ${\textstyle +1}$, ${\textstyle -1}$, ${\textstyle +i}$, ${\textstyle -i}$, quae simpliciter positiva, negativa, positiva imaginaria, negativa imaginaria audient.

Producta terna cuiuslibet numeri complexi per ${\textstyle -1}$, ${\textstyle +i}$, ${\textstyle -i}$ illius socios vel numeros illi associatos appellabimus. Excepta itaque cifra (quae sibi ipsa așsociata est), semper quaterni numeri inaequales associati sunt.

Contra numero complexo coniunctum vocamus eum, qui per permutationem ipsius ${\textstyle i}$ cum ${\textstyle -i}$ inde oritur. Inter numeros imaginarios itaque bini inaequales semper coniuncti sunt, dum numeri reales sibi ipsi sunt coniuncti, siquidem denominationem ad hos extendere placet.

Productum numeri complexi per numerum ipsi coniunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est.

Generaliter octonos numeros nexos habemus, puta

$${\begin{array}{r|r}a+bi&a-bi\\-b+ai&-b-ai\\-a-bi&-a+bi\\b-ai&b+ai\end{array}}$$

ubi duas quaterniones numerorum associatorum, quatuor biniones coniunctorum conspicimus, omniumque norma communis est ${\textstyle aa+bb}$. Sed octo numeri ad quatuor inaequales reducuntur, quoties vel ${\textstyle a=\pm b}$, vel alteruter numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b=0}$.

E definitionibus allatis protinus demanant sequentia:

Producto duorum numerorum complexorum coniunctum est productum e numeris, qui illis coniuncti sunt.

Idem valet de producto e pluribus factoribus, nec non de quotientibus.

Norma producti e duobus numeris complexis aequalis est producto ex horum normis.

Hoc quoque theorema extenditur ad producta e quotcunque factoribus et ad quotientes.

Cuiusvis numeri complexi (excipiendo cifram, quod plerumque abhinc tacite subintelligemus) norma est numerus positivus.

Ceterum nihil obstat, quominus definitiones nostrae ad valores fractos vel adeo irrationales ipsorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ extendantur; sed ${\textstyle a+bi}$ tunc tantum numerus complexus integer audiet, quando uterque ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ est integer, atque tunc tantum rationalis, quando uterque ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ rationalis est.