Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/112

lis omnes casus complectens in votis esse debeat. Cui rei quum inde ab anno 1805 meditationes nostras dicare coepissemus, mox certiores facti sumus, fontem genuinum theoriae generalis in campo arithmeticae promoto quaerendum esse, uti iam in art. 1 addigitavimus.

Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae ${\textstyle a+bi}$, denotantibus ${\textstyle i}$, pro more quantitatem imaginariam ${\textstyle \surd {-1}}$, atque ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ indefinite omnes numeros reales integros inter ${\textstyle -\infty }$ et ${\textstyle +\infty }$. Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur. Commentatio praesens tum doctrinam elementarem de numeris complexis, tum prima initia theoriae residuorum biquadraticorum sistet, quam ab omni parte perfectam reddere in continuatione subsequente suscipiemus^[1].

31.

Ante omnia quasdam denominationes praemittimus, per quarum introductionem brevitati et perspicuitati consuletur.

Campus numerorum complexorum ${\textstyle a+bi}$ continet
I. numeros reales, ubi ${\textstyle b=0}$, et, inter hos, pro indole ipsius ${\textstyle a}$

1) cifram

2) numeros positivos

3) numeros negativos
II. numeros imaginarios, ubi ${\textstyle b}$ cifrae inaequalis. Hic iterum distinguuntur

1) numeri imaginarii absque parte reali, i.e. ubi ${\textstyle a=0}$

2) numeri imaginarii cum parte reali, ubi neque ${\textstyle b}$ neque ${\textstyle a=0}$.
Priores si placet numeri imaginarii puri, posteriores numeri imaginarii mixti vocari possunt.

1. Obiter saltem hic adhuc monere convenit, campum ita definitum imprimis theoriae residuorum biquadraticorum accommodatum esse. Theoria residuorum cubicorum simili modo superstruenda est considerationi numerorum formae ${\textstyle a+bh}$, ubi ${\textstyle h}$ est radix imaginaria aequationis ${\textstyle h^{3}-1=0}$, puta ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}+\surd {\frac {3}{4}}.i}$; et perinde theoria residuorum potestatum altiorum introductionem aliarum quantitatum imaginariarum postulabit.