Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/110

res expressionis ${\textstyle \surd {-1}{\pmod {q}}}$, qui manifesto nequeunt esse valores expressionis ${\textstyle {\frac {b}{a}}{\pmod {q}}}$, quum ${\textstyle p=aa+bb}$ semper supponatur esse numerus primus a ${\textstyle q}$ diversus. Quapropter multitudo valorum admissibilium expressionis ${\textstyle {\frac {b}{a}}{\pmod {q}}}$ est ${\textstyle =q-2}$, pro ${\textstyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$, dum manet ${\textstyle =q}$ pro ${\textstyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$.

Iam hi valores in quaternas classes distribuuntur, puta, ut quidam, indefinite per ${\textstyle \alpha }$ denotandi, respondeant complexui ${\textstyle A}$; alii per ${\textstyle \beta }$ denotandi complexui ${\textstyle B}$; alii ${\textstyle \gamma }$ complexui ${\textstyle C}$; denique reliqui ${\textstyle \delta }$ complexui ${\textstyle D}$, ita scilicet, ut ${\textstyle \pm q}$ complexui ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ adscribendus sit, prout habeatur ${\textstyle b\equiv \alpha a}$, ${\textstyle b\equiv \beta a}$, ${\textstyle b\equiv \gamma a}$, ${\textstyle b\equiv \delta a{\pmod {q}}}$.

At lex huius distributionis abstrusior videtur, etiamsi quaedam generalia promte animadvertantur. Multitudo in ternis classibus eadem reperitur, puta ${\textstyle ={\frac {1}{4}}(q-1)}$ vel ${\textstyle {\frac {1}{4}}(q+1)}$, dum in una (et quidem in eadem, quae respondet complexui cum criterio ${\textstyle a\equiv 0}$) unitate minor est, ita ut multitudo omnium criteriorum diversorum respectu singulorum complexuum fiat eadem, puta ${\textstyle ={\frac {1}{4}}(q-1)}$ vel ${\textstyle {\frac {1}{4}}(q+1)}$. Porro animadvertimus, ${\textstyle 0}$ semper in prima classe (inter ${\textstyle \alpha }$) reperiri nec non complementa numerorum ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \beta }$, ${\textstyle \gamma }$, ${\textstyle \delta }$ ad ${\textstyle q}$, puta ${\textstyle q-\alpha }$, ${\textstyle q-\beta }$, ${\textstyle q-\gamma }$, ${\textstyle q-\delta }$ resp. in classe prima, quarta, tertia, secunda. Denique valores expressionum ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{\beta }}}$, ${\textstyle {\frac {1}{\gamma }}}$, ${\textstyle {\frac {1}{\delta }}{\pmod {q}}}$ pertinere videmus ad classem primam, quartam, tertiam, secundam, quoties criterium ${\textstyle a\equiv 0}$ respondet complexui ${\textstyle A}$; ad classem tertiam, secundam, primam, quartam resp. autem, quoties criterium ${\textstyle a\equiv 0}$ refertur ad complexum ${\textstyle C}$. Sed ad haec fere limitantur, quae per inductionem assequi licet, nisi audacius ea, quae infra e fontibus genuinis haurientur, anticipare nobis arrogemus.

29.

Antequam ulterius progrediamur, observare convenit, criteria pro numeris primis (positive sumtis, si sunt formae ${\textstyle 4n+1}$, negative, si formae ${\textstyle 4n+3}$) sufficere ad diiudicationem pro omnibus reliquis numeris, si modo theorema art. 7, atque criteria pro ${\textstyle -1}$ et ${\textstyle \pm 2}$ in subsidium vocentur. Ita e.g. si desiderantur criteria pro numero ${\textstyle +3}$, criteria in art. 25 prolata, quae referuntur ad ${\textstyle -3}$, etiamnum pro ${\textstyle +3}$ valebunt, quoties ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$ est numerus par: contra complexus ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ cum complexibus ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$, ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$ permutandi erunt, quoties ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$ est impar, unde sequuntur praecepta haecce: