Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/105

THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM

COMMENTATIO SECUNDA

24.

In commentatione prima ea, quae ad classificationem biquadraticam numeri ${\textstyle +2}$ requiruntur, complete absoluta sunt. Dum scilicet omnes numeros per modulum ${\textstyle p}$ (qui supponitur esse numerus primus formae ${\textstyle 4n+1}$) non divisibiles inter quatuor complexus ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ distributos concipimus, prout singuli ad potestatem exponentis ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$ evecti congrui fiunt secundum modulum ${\textstyle p}$ ipsi ${\textstyle +1}$, ${\textstyle +f}$, ${\textstyle -1}$, ${\textstyle -f}$, denotante ${\textstyle f}$ radicem alterutram congruentiae ${\textstyle ff\equiv -1{\pmod {p}}}$: invenimus, diiudicationem, cuinam complexui adnumerandus sit numerus ${\textstyle +2}$, pendere a discerptione numeri ${\textstyle p}$ in duo quadrata, ita quidem, ut si statuatur ${\textstyle p=aa+bb}$, denotante ${\textstyle aa}$ quadratum impar, ${\textstyle bb}$ quadratum par, si porro signa ipsorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ ita accepta supponantur, ut habeatur ${\textstyle a\equiv 1{\pmod {4}}}$, ${\textstyle b\equiv af{\pmod {p}}}$, numerus ${\textstyle +2}$ ad complexum ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ pertinere debeat prout ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$ sit formae ${\textstyle 4n}$, ${\textstyle 4n+1}$, ${\textstyle 4n+2}$, ${\textstyle 4n+3}$ resp.

Sponte quoque hinc demanat regula classificationi numeri ${\textstyle -2}$ inserviens. Scilicet quum ${\textstyle -1}$ pertineat ad classem ${\textstyle A}$ pro valore pari ipsius ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$, ad classem ${\textstyle C}$ vero pro impari: pertinebit, per theorema art. 7, numerus ${\textstyle -2}$ ad classem ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$, prout ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$ est formae ${\textstyle 4n}$, ${\textstyle 4n+3}$, ${\textstyle 4n+2}$, ${\textstyle 4n+1}$ resp.

Haec theoremata etiam sequenti modo exprimi possunt: