Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/101

adeoque ${\textstyle qr\equiv \pm f{\pmod {p}}}$. Combinando hanc congruentiam cum theoremate modo invento obtinemus ${\textstyle rr\equiv \pm 2af}$, et proin, per artt. 19, 20

${\textstyle 2b\equiv \pm rr{\pmod {p}}}$^[1]

Valde memorabile est, discerptionem numeri ${\textstyle p}$ in duo quadrata per operationes prorsus directas inveniri posse; scilicet radix quadrati imparis erit residuum absolute minimum ipsius ${\textstyle {\frac {r}{2q}}}$, radix quadrati paris vero residuum absolute minimum ipsius ${\textstyle {\frac {1}{2}}rr}$ secundum modulum ${\textstyle p}$. Expressionem ${\textstyle {\frac {r}{2q}}}$, cuius valor pro ${\textstyle p=5}$ fit ${\textstyle =1}$, pro valoribus maioribus ipsius ${\textstyle p}$, ita quoque exhibere licet:

$${\frac {6.10.14.18\ldots (p-3)}{2.3.4.5\ldots {\frac {1}{4}}(p-1)}}$$

Sed quum insuper noverimus, quonam signo affecta prodeat ex hac formula radix quadrati imparis, eo scilicet, ut semper fiat formae ${\textstyle 4m+1}$, attentione perdignum est, quod simile criterium generale respectu signi radicis quadrati paris hactenus inveniri non potuerit. Quale si quis inveniat, et nobiscum communicet, magnam de nobis gratiam feret. Interim hic adiungere visum est valores numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle f}$, quales pro valoribus ipsius ${\textstyle p}$ infra 200 e residuis minimis expressionum ${\textstyle {\frac {r}{2q}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{2}}rr}$, ${\textstyle qr}$ prodeunt.

1. atque ${\textstyle \{(a\mp b)q\}^{2}\equiv a\equiv ({\frac {r-qrr}{2}})^{2}}$