Pagina:Principia newton la.djvu/91

ille Aⁿ seu ${\overline {T-X^{n}}}$ in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit Tⁿ-nXT^n-1+${\tfrac {nn-n}{2}}$Xq.T^n-2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X, fit RGq.−RFq.+TFq. ad Tⁿ ut −Fq. ad −nTⁿ⁻¹+${\tfrac {nn-n}{2}}$XTⁿ⁻² &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit RGq. ad Tⁿ ut −Fq. ad −nTⁿ⁻¹, seu Gq. ad Tⁿ⁻¹ ut Fq. ad nTⁿ⁻¹, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tⁿ⁻¹ ad nTⁿ⁻¹ id est ut 1 ad n; adeoq; G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulus VCP, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi cen tripeta dignitati Aⁿ⁻³ proportionali describit, æqualis angulo graduum ${\tfrac {180}{\sqrt {n}}}$; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu ${\tfrac {A^{4}}{A^{3}}}$, erit n æqualis 4 & √4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam æqualis ${\tfrac {180}{2}}$ gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi cen tripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut ${\tfrac {1}{A}}$ seu ${\tfrac {A2}{A3}}$, erit n=2, adeoq; inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum ${\tfrac {180}{\sqrt {2}}}$ seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato quadratum undecimæ dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A^{${\tfrac {11}{4}}$}, adeoq; directe ut ${\tfrac {1}{A^{\tfrac {11}{4}}}}$ seu ut ${\tfrac {A^{\tfrac {1}{4}}}{A^{3}}}$ erit n æqualis ${\tfrac {1}{4}}$, & ${\tfrac {180}{\sqrt {n}}}$ gr. æqualis 360 gr. & propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in æternum.

Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut ${\tfrac {bA^{m}+cA^{n}}{Acub.}}$ id est ut ${\tfrac {bin{\overline {T-X}}^{m}+cin{\overline {T-X}}^{n}}{Acub.}}$ seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut ${\tfrac {bT^{m}-mbXT^{m-1}+{\tfrac {mm-m}{2}}bX^{2}T^{m-2}+cT^{n}-ncXT^{n-1}+{\tfrac {nn-n}{2}}cX^{2}T^{n-2}\&c.}{Acub.}}$ & collatis numeratorum terminis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad bT m+cTⁿ, ut −Fq. ad −mbT^m−1−ncTⁿ⁻¹+ ${\tfrac {mm-m}{2}}$XT^m−2+${\tfrac {nn-n}{2}}$ XTⁿ⁻² &c. Et sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bT^m−1+cTⁿ⁻¹, ut Fq. ad mbT^m−1+ncTⁿ⁻¹, & vicissim Gq. ad Fq. ut bT^m−1+ cTⁿ⁻¹ ad mbT^m−1+ncTⁿ⁻¹. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b+c ad mb+nc, adeoq; ut 1 ad ${\tfrac {mb+nc}{b+c}}$. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad ${\sqrt {\tfrac {mb+nc}{b+c}}}$. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem