Pagina:Principia newton la.djvu/78

cum linea CB, fiet segmentum Parabolicum BDEB proportionale tempori quo corpus illud P vel C descendet ad centrum B. Q. E. I.

Prop. XXXIII. Theor. IX.

Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore A, habet ad figuræ semidiametrum principalem ${\tfrac {1}{2}}$AB.

Namq; ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utriusq; figuræ RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quæ tangat figuram RPB in P, atq; etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T; sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L. Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ${\tfrac {1}{2}}$L×SP ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2AO ad L, adeoq; ${\tfrac {2CPq.\times AO}{ACB}}$ æquale L. Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata ratione ${\tfrac {CPq.\times AO\times SP}{ACB}}$ ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel componendo fit BO uel+CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad BQ; indeq; ${\tfrac {CPq.\times AO\times SP}{ACB}}$ æquale est ${\tfrac {BQq.\times AC\times SP}{AO\times BC}}$. Minuatur jam in infinitum figuræ RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punctumq; S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, lineaq; SY cum linea BQ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius ${\tfrac {BQq.\times AC\times SP}{AO\times BC}}$ ad SY q. hoc est (neglectis æqualitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SY q.) in dimidiata ratione AC ad AO. Q.E.D.

Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC ad ST ut AC ad AO.

Prop. XXXIV. Theor. X.

Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C æqualis est velocitati qua corpus centro B dimidio intervalli sui BC circulum uniformiter describere potest.

Nam corporis Parabolam RPB circa centrum S describentis velocitas in loco quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis dimidio intervalli SP circulum circa