Pagina:Principia newton la.djvu/71

Haec pagina emendata est

SECT. VI.

De inventione motuum in Orbibus datis.

Prop. XXX. Prob. XXII.

Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.

Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS×M area Parabolica APS, quæ radio SP, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G, erigeq; perpendiculum GH æquale 3M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus secabit Parabolam in loco quæsito P. Nam demissa ad axem perpendicu lariPO, est　HGq.+GSq.(=HSq.=HPq.=GOq.+ ${\overline {PO-HG}}q$ .)= GOq.+HGq−2HG×PO+POq. Et deleto utrinq; HGq. ﬁet GSq.=GOq.−2HG×PO+POq. seu 2HG×PO (=GOq.+POq.−GSq.=AOq.−2GAO+POq.)=AOq.+ ${\tfrac {3}{4}}$ POq. Pro AOq. scribe AO× ${\tfrac {POq.}{4AS}}$ , & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in 2AS, ﬁet ${\tfrac {4}{3}}$ GH×AS(= ${\tfrac {1}{6}}$ AO×PO+ ${\tfrac {1}{2}}$ AS×PO= ${\tfrac {AO+3AS}{6}}$ ×PO = ${\tfrac {4AO-3SO}{6}}$ ×PO=areæ APO−SPO)= areæ APS. Sed GH erat 3M, & inde ${\tfrac {4}{3}}$ HG×AS est 4AS×M. Ergo area APS æqualis est 4AS×M. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S erectum.

Corol. 2. Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8; adeoq; in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A, describere posset.

Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæ GH occurrens in H.

Lemma XXVIII.

Nulla extat ﬁgura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum ﬁnitas generaliter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris inﬁnitis. Jam si area Oualis per