Concurrant enim rectæ AC, BD in E, & in BE
capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sitq; FD æqualis EG, & erit EC ad GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeoq; in ratione data, & propterea dabitur specie triangulum EFC. Secetur CF in L in ratione CK ad CD, & dabitur etiam specie triangulum EFL, proindeq; punctum L locabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob datam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic æqualis capiatur EH, & erit ELKH parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi latere positione dato HK. Q. E. D.
Lemma XXIV.
Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactum & tangenti tertiæ interjecta.
Sunto AF, GB parallelæ duæ Conisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta tertia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sitq; CD semidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.
Nam si diametri conjugatæ AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, seq; mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC−CA ad CA−CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA+AL seu EL ut EC ad EC+CA seu EB; adeoq; (ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH atq; adeo ex æquo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si tangentes duæ FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, seq; mutuo secent in O, erit (ex æquo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, atq; adeo ut FO ad OG.
Corol. 2. Unde etiam rectæ duæ PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductæ, concurrent ad rectam ACB per centrum figuræ & puncta contactuum A, B transeuntem.
Lemma XXV.
Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa
