HD ad mediam proportionalem inter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportionalis inter CI & ID ad mediam proportionalem inter CL & LD. Age RS secantem tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contactus. Nam si A & P sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, & per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y, & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq; adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GAquad., adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeoq; puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR. Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q. E. F.
Lemma XXII.
Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.
Transmutanda sit figura quævis HGI. Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ AO, BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A & B, & a figuræ puncto quovis G, ad rectam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL occurrens in d; & a puncto occursus erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, atq; eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ. Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figuræ primæ, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) radium ordinatum novum.
Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici,
