distantiam. Super diametro Kk describatur circulus secans rectam OH in H; & umbilicis S, H, axe transverso ipsam VH æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut Vk ad kS; & composite ut VK+Vk ad KS+kS; divisimq; ut Vk−VK ad kS−KS id est ut 2VX ad 2KX & 2KX ad 2SX,adeoq; ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur Trajectoria; descriptæ axis transversus VH eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriæ describendæ axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, vH æquentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR, tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere. Q. E. F.
Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quæ rectam R tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendicularem ST, & produc eandem adV, ut sit TV æqualisST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendæ axis transversus ad distantiam umbilicorum; circuloq; super diametro Kk descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq; VH esse ad SH ut VK ad SK, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Cas. secundo, & propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R, patet ex Conicis. Q. E. F.
Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quæ tangat rectam TR, transeatq; per punctum quod vis P extra tangentem datum, quæq; similis sit fig uræ apb, axe transverso ab & umbilicis s, h descriptæ. In tangentem TR demitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV æqualis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq æquales; centroq; q intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quæ sit ad sh ut est SP ad sp quæq; angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq æquales constituat. Deniq; umbilicis S, H, axe distantiam VH æquante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq; constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales, triangula
