Lemma IX.
Rectæ Iμ & μM & longitudo æquantur inter se. Nam 4Sμ est latus rectum Parabolæ pertinens ad verticem B.
Lemma X.
Si producatur Sμ ad N & P, ut μN sit pars tertia ipsius μI, & SP sit ad SN ut SN ad Sμ. Cometa quo tempore describit arcum AμC, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi SP æquali, describeret longitudinem æqualem chordæ AC.
Nam si velocitate quam habet in, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in ; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, æqualis esset areæ Parabolicæ ASCμ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta & longitudine Sμ, esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASC ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut Sμ ad SN. Cum autem velocitas Cometæ in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S in dimidiata ratione SP ad S inversè, id est in ratione S ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut Sμ ad SN. Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se. Q. E. D.
Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine Sμ+Iμ, eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.
Lemma XI.
Si Cometa motu omni privatus de altitudine SN seu Sμ+Iμ demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum AC, descensu suo describeret spatium longitudini Iμ æquale.
Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium . Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad S: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium , id est spatium longitudini Iμ vel Mμ æquale. Q. E. D.
