Pagina:Principia newton la.djvu/288

Cas. 1. Si punctorum H, I, K, L, M, N æqualia sunt intervalla HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK &c. differentias primas b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. secundas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias d, 2d, 3d, &c. id est, ita ut si tHA−BI=b, BI−CK=2b, CK−DL=3b, DL+EM=4b, −EM+FN=5b, &c. dein b−2b=c &c.& sic pergatur ad differentiam ultimam, quæ hic est f. Deinde erecta quacunque perpendiculari RS, quæ fuerit ordinatim applicata ad curvam quæsitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM, &c. unitates esse, & dic AH=a, −HS=p, ${\tfrac {1}{2}}$p in −IS=q, ${\tfrac {1}{3}}$q in+SK=r, ${\tfrac {1}{4}}$r in+SL=s, ${\tfrac {1}{5}}$s in+SM=t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum ME, & præponendo signa negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent ad partes puncti S versus A, & signa affirmativa terminis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe observatis erit RS=a+bp+cq+dr+es+ft &c.

Cas. 2. Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inæqualia sint intervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2b, 3b, 4b, 5b; secundas per intervalla bina divisas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias per intervalla terna divisas d, 2d, 3d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b=${\tfrac {AH-BI}{HI}}$, 2b=${\tfrac {BI-CK}{IK}}$, 3b=${\tfrac {CK-DL}{KL}}$ &c. dein c=${\tfrac {b-2b}{HK}}$, 2c=${\tfrac {2b-3b}{IL}}$, 3c=${\tfrac {3b-4b}{KM}}$ &c. Postea d=${\tfrac {c-2c}{HL}}$, 2d=${\tfrac {2c-3c}{IM}}$ &c. Inventis differentiis, dic AH=a, −HS=p, p in −IS=q, q in+SK=r, r in+SL=s, s in+SM=t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS=a+bp+cq+dr+es+ft, &c.

Corol. Hinc areæ curvarum omnium inveniri possunt quamproximè. Nam si curvæ cujusvis quadrandæ inveniantur puncta aliquot, & Parabola per ea dem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proximè cum area curvæ illius quadrandæ. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

Lemma VI.

Ex observatis aliquot locis Cometæ invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

Designent HI, IK, KL, LM tempora inter observationes, (in Fig. præced.) HA, IB, KC, LD, ME, observatas quinque longitudines Cometæ, HS tempus datum inter observationem primam & longitudinem quæsitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo quæsita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvæ sint differentiæ, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem