Pagina:Principia newton la.djvu/228

ad circumferentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP, id est (si circumferentia dicatur Z) ut ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$ ad OP, & ex æquo LN ad EG ut IM ad ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$: erit expansio partis EG in loco ǫγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$−IM ad ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$ in itu, utque ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$+im ad ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$ in reditu. Unde si ${\tfrac {OP\times BC}{Z}}$ dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Physici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V−IM ad V, in reditu ut V+im ad V; & ejusdem vis elastica ad vim suam elasticam mediocrem in itu, ut ${\tfrac {1}{V-IM}}$ ad ${\tfrac {1}{V}}$; in reditu, ut ${\tfrac {1}{V}}$+im ad ${\tfrac {1}{V}}$. Et eodem argumento vires Elasticæ punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut ${\tfrac {1}{V-HL}}$ & ${\tfrac {1}{V-KN}}$ ad ${1}{V}$; & virium differentia ad Medii vim elasticam mediocrem, ut ${\tfrac {HL-KN}{VV-V\times HL-V\times KN+HL\times KN}}$ ad ${\tfrac {1}{V}}$. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum sup ponamus HK & KN indefinite minores esse quantitate V) ut ${\tfrac {HL-KN}{VV}}$ ad ${\tfrac {1}{V}}$, sive ut HL−KN ad V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium est ut HL−KN, hoc est (ob proportionales HL−KN ad HK, & OM ad OI vel OP, datasque HK & OP) ut OM; id est, si Ff bisecetur in, ut ϕ. Et eodem argumento differentia virium Elasticarum punctorum Physicorum ǫ & γ, in reditu lineolæ Physicæ ǫγ est ut ϕ. Sed differentia illa (id est excessus vis Elasticæ puncti ǫ supra vim elasticam puncti γ,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica ǫγ acceleratur; & propterea vis acceleratrix lineolæ Physicæ ǫγ est ut ipsius distantia a Medio vibrationis loco. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis ǫγ lege præscripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ratio partium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. Q. E. D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam lineola Physica ǫγ, quamprimum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII.

Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris nostri comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adæquet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A: & quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiæ circuli radio A descripti æquale.

Nam stantibus quæ in Propositione superiore constructa sunt, si linea quævis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spatium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quæ ipsius ponderi