Medii amittit, & sumatur CN æqualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad veloci tatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex æquo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex æquo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad aB; ideoque summa omnium MN×aB, id est Aa×aB, æqualis erit summæ omnium Dd×DR, id est areæ BRrSa, quam rectangula omnia Dd×DR seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit aB seu OB æqualis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, incidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu æqualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu æqualiter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæ BRSa, in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKT a areæ BRSa æqualem quam proxime. Ergo rectangulum Aa×aB seu AaO, cum sit æquale areæ BRSa, erit etiam æquale areæ BKT a quamproxime. Q.E.D.
Corol. Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa, colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.
Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkT rectangulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub Ba & Aa æqualis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK æqualis erit Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut Aa ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.
Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkT Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resistente, æqualibus circiter temporibus describantur; adeoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeoque figura BKV T a Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiæ in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV descripta, figuram aBKVT, eique æquale rectangulum Aa×BO, æquabit quam proxime. Est igitur Aa×BO ad OV×BO ut area Ellipseos hujus ad OV×BO: id est Aa ad OV ut area semicirculi, ad
