Pagina:Principia newton la.djvu/171

Haec pagina emendata est

SECT. III.

De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF , cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem ${\tfrac {1}{GD}}$ decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est ${\tfrac {Dd}{GDq.}}$ erit ut ${\tfrac {CD}{GDq.}}$ seu ${\tfrac {CG+GD}{GDq.}}$ ,idest,ut ${\tfrac {1}{GD}}$ + ${\tfrac {CG}{GDq.}}$ . Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit ${\tfrac {1}{GD}}$ in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quan titatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius ${\tfrac {1}{GD}}$ decrementum est ut summa quantitatum ${\tfrac {1}{GD}}$ & ${\tfrac {CG}{GDq.}}$ , quarum prior est ipsa ${\tfrac {1}{GD}}$ , & posterior ${\tfrac {CG}{GDq.}}$ est ut ${\tfrac {1}{GDq.}}$ . Proinde ${\tfrac {1}{GD}}$ , ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi ${\tfrac {1}{GD}}$ reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam ${\tfrac {1}{GD}}$ .

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in ﬁne temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.