Pagina:Principia newton la.djvu/167

+pro Qo, tertius ${\tfrac {nn+n}{2A^{n+2}}}bbO^{2}$ pro $Ro^{2}$, quartus ${\tfrac {n^{3}+3nn+2n}{6A^{n+3}}}bbO^{3}$ pro $So^{3}$. Et inde Medii densitas ${\tfrac {S}{R\times {\sqrt {1+QQ}}}}$, in loco quovis G, fit ${\tfrac {n+2}{3{\sqrt {A^{2}+{\tfrac {dd}{ee}}A^{2}-{\tfrac {2dnbb}{eA^{n}}}A+{\tfrac {nnb^{4}}{A^{2n}}}}}}}$, adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n×VG, est reciproce ut XY. Sunt enim $A^{2}$ & ${\tfrac {dd}{ee}}A^{2}-{\tfrac {2dnbb}{eA^{n}}}$ in $A+{\tfrac {nnb^{4}}{A^{2n}}}$ ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in ${\tfrac {XY}{A}}$ ad 2RR, id est XY ad ${\tfrac {3nn+3n}{n+2}}VG$. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & Latus rectum ${\tfrac {1+QQ}{R}}$ seu ${\tfrac {2XYquad.}{{\overline {nn+n}}\ inVG}}$ habente. Q.E.I.

Scholium.

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut ${\sqrt {\tfrac {GTq.}{GV}}}$, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad ${\tfrac {3nn+3n}{n+2}}GV$.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut ${\sqrt {\tfrac {AHq.}{AI}}}$, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad ${\tfrac {3nn+3n}{n+2}}$ in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest. Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine ${\tfrac {AHq.}{AI}}$; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.