Pagina:Principia newton la.djvu/164

BC−ID, atq; adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ${\tfrac {ao}{e}}$ ad o seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est ${\tfrac {nnoo}{2e^{3}}}$ designabit lineolam FG, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est ${\tfrac {anno^{3}}{2e^{5}}}$, exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadra to termini secundi. Estq; FG+kl æqualis duplo termini tertii, & FG−kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu −o pro +o. Proinde cum FG sit $-{\tfrac {nnoo}{2e^{3}}}-{\tfrac {anno^{3}}{2e^{5}}}$ &c. erit $kl=-{\tfrac {nnoo}{2e^{3}}}+{\tfrac {anno^{3}}{2e^{5}}}$, &c. Et horum summa est $-{\tfrac {nnoo}{e^{3}}}$, differentia $-{\tfrac {anno^{3}}{e^{5}}}$. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series universaliter his terminis $\pm Qo-Roo-So^{3}$ &c. erit CF æqualis √oo+QQoo, FG+kl æqualis 2Roo, & FG−kl æqualis $2So^{3}$. Pro CF, FG+kl & FG−kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut $FG-{\tfrac {kl}{CF}}$ in FG+kl jamfiet ut ${\tfrac {S}{R{\sqrt {1+QQ}}}}$. Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut $S{\sqrt {1+QQ}}$ ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum ${\tfrac {1+QQ}{R}}$ habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur ${\sqrt {1+{\tfrac {aa}{ee}}}}$ seun e pro √1+QQ, ${\tfrac {nn}{2e^{3}}}$ pro R, & ${\tfrac {ann}{2e^{3}}}$ pro S, prodibit Medii densitas ut a ne, hoc est (obdatam n) ut ${\tfrac {a}{e}}$ seu ${\tfrac {OB}{BC}}$, id est ut Tangentis longitudo illa CT, quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q. E. I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut $-{\tfrac {a}{e}}$. Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus cor porum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa