Pagina:Principia newton la.djvu/163

resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut ${\tfrac {HF}{FG}}$. Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora æquatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut ${\tfrac {hf}{fg}}$. Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales ${\tfrac {hf}{fg}}$ & ${\tfrac {HF}{FG}}$ æquantur; & propterea ob æquales fg & FG, æquantur etiam hf & HF, suntq; adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quæ supra fuit ut ${\tfrac {HF}{FG}}$, est ut ${\tfrac {Cf-CF}{FG}}$.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Veloci tas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut CF √FG, adeoq; quadratum velocitatis ut ${\tfrac {CFq.}{FG}}$. Quare resistentia, ipsiq; pro portionalis ${\tfrac {Cf-CF}{FG}}$ est ut Medii densitas & ut ${\tfrac {CFq.}{FG}}$ conjunctim; & inde Medii densitas ut ${\tfrac {Cf-CF}{FG}}$ directe & ${\tfrac {CFq.}{FG}}$ inverse, id est ut ${\tfrac {Cf-CF}{CFq.}}$ Q. E. I.

Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut ${\tfrac {FG-kl}{CF\times FG}}+kl$. Erit enimfC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl,& divisim fk ad kC,id est Cf−CF ad CF ut √FG√kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in √FG+√kl) ut FG−kl ad kl +√FG×kl, sive ad FG+kl. Nam ratioprima nascentium kl+√FG×kl & FG+kl est æqualitatis. Scribatur itaq; ${\tfrac {FK-Kl}{FK+Kl}}$ pro ${\tfrac {Cf-CF}{CF}}$; & Medii densitas, quæ fuit ut ${\tfrac {Cf-CF}{CF}}$ quad. evadet ut ${\tfrac {FG-kl}{CF\times FG+kl}}$. Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf−CF æquentur, & FG & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG−kl ad 2FG; et inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG−kl ad 4FG quad.

Corol. 3. Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordina tim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur. Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OKn, OBa, BCe, & BD vel Bio: & erit DGq. seu OGq.−ODq. æquale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet $DG=e-{\tfrac {ao}{e}}-{\tfrac {oo}{2e}}-{\tfrac {aaoo}{2e^{3}}}-{\tfrac {ao^{3}}{2e^{3}}}-{\tfrac {a^{3}o^{3}}{2e^{5}}}$ &c. Hic scribatur nnpro ee+aa & evadet $DG=e-{\tfrac {ao}{e}}-{\tfrac {nnoo}{2e^{3}}}-{\tfrac {anno^{3}}{2e^{5}}}$ &c.

Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ${\tfrac {ao}{e}}$, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quæ abscinditur complendo parallelogrammum