Pagina:Principia newton la.djvu/158

Cas. 5. Et cum A^1/2 in A^1/2 sit A, momentum ipsius A^1/2 in 2A^1/2 erit a, per Cas. 3: ideoq; momentum ipsius A^1/2 erit ${\tfrac {a}{2A^{\tfrac {1}{2}}}}$ sive 2aA^-1/2. Et generaliter si ponatur A^m/n æqualem B, erit A^m æquale Bⁿ, ideoq; maA^m-1 æquale nbB^m-1, & maA^-1 æquale nbB^-1 seu ${\tfrac {nb}{A^{\tfrac {m}{n}}}}$, adeoq; ${\tfrac {m}{n}}aA^{\tfrac {m-n}{n}}$ æquale b, id est æquale momento ipsius A^m/n. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur Genitæ cujuscunq; A^mBⁿ momentum est momentum ipsius A^m ductum in Bⁿ, una cum momento ipsius Bⁿ ducto in A^m, id est maA^m-1+nbB^n-1; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut −2A, −B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunq; dati.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangentes, & similia peragendi, quæ in terminis surdis æque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data æquatione quotcunq; fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: rescripsit Vir Clarissimus se quoq; in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum & notarum formulis. Utriusq; fundamentum continetur in hoc Lemmate.

Prop. VIII. Theor. VI.

Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resistentia per lineam indefinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP (quæ sit media proportionalis inter AK & AC, ideoq; in dimidiata ratione resistentiæ) incrementum resistentiæ data temporis