Pagina:Principia newton la.djvu/151

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quamvis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizontalem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum sub DA & DP ad rectangulum sub AC & CP ut resistentia tota sub initio motus ad vim Gravitatis. Describatur Hyperbola quævis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & compleatur parallelogrammum DGKC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectæ DC punctum quodvis R erecto perpendiculo RT, quod Hyperbolæ in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr æqualem ${\tfrac {tGT}{N}}$, & Projectile tempore DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper appropinquans ad Asymptoton PLC. Estq; velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvæ Tangens rL. Q. E. I.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeoq; RV æqualis ${\tfrac {DR\times QB}{N}}$, & Rr (id est RV−Vr seu ${\tfrac {DR\times QB-tGT}{N}}$) æqualis ${\tfrac {DR\times AB-RDGT}{N}}$. Exponatur jam tempus per aream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam hæc in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideoq; longitudo a motu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est, ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT æqualis est rectangulo DR×AQ, ideoq; linea illa Rr (seu ${\tfrac {DR\times AB-DR\times AQ}{N}}$) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP ad DC; atq; adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, atq; Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpetuo tangit. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si vertice D, Diametro DE deorsum producta, & latere recto quod sit ad 2DP ut resistentia tota, ipso motus initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Medio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolæ hujus, ipso motus initio, est ${\tfrac {DVquad.}{Vr}}$ & Vr est ${\tfrac {tGT}{N}}$ seu ${\tfrac {DR\times Tt}{2N}}$. Recta autem, quæ, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideoq; Tt est ${\tfrac {CK\times DR}{DC}}$, & N erat ${\tfrac {QB\times DC}{CP}}$. Et propterea Vr est ${\tfrac {DRq.\times CK\times CP}{2CDq.\times QB}}$, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) ${\tfrac {DVq.\times CK\times CP}{2DPq.\times QB}}$, & Latus rectum ${\tfrac {DVquad.}{Vr}}$ prodit ${\tfrac {2DPq.\times QB}{CK\times CP}}$, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) ${\tfrac {2DPq.\times DA}{AC\times CP}}$,