quæ potest tam GA, quàm AM illius dimidiam: vt si potentia ipsius GA sit 4. erit ipsius AM 1. Et ipsius igitur GM potentia erit 5. In quantum igitur AO vel AP est Apotome, respondet ei binominis AX: suntque nomina ipsius communia MX, vel MP, vel MG, & AM.
Quòd autem AP sit Apotome, & AX Binominis, utraque quartæ speciei, sic probatur; Est enim utrunque nomen effabile & MX & MA; sunt tamen solâ potentiâ commensurabiles, quia MX (id est MG) potest 5. qualiam MA potest 1. At 3. ad 5. non est vt numerus quadratus ad quadratum. Denique differentia potentiarum 1. & 5. est 4. numerus quadratus, cujus latus 2. longitudine Effabile, æquale sc. ipsi GA propositæ. Hæ verò sunt notæ speciei quartæ Binominum, in definitionibus ante P. 74: & Apotomarum, ante pr. 85. decimi Euclidis.
Denique si GA Effabilis secetur proportionaliter, pars ejus major OA & composita ex utraque OA, AG cadunt in gradum scientiæ quintum. Nam quadrata ipsarum juncta, summam faciunt Effabilem, triplum scilicet ipsius GA effabilis, per 4. Tredecimi Euclidis: Rectangulum verò etiam Effabile fit, quia est æquale quadrato ipsius GA effabili, cùm sit GA media proportionalis inter OA partem, & OA, AG compositam, per præmissa.
VIcissim, si aliqua Effabilis longitudine sic proportionaliter fuerit secta, pars ejus minor fit Apotome primæ speciei.
Vt si Effabilis sit GA, vt antea, & ejus sectæ proportionaliter pars major AO, minor OG; erit etiam OG Apotome, per 6. Tredecimi Euclidis.
Rursum a. OG dicitur Apotome qualitativè non relatione ad GA Effabilem longitudine, cujus est pars minor; nec relatione ad MG, vel MP, cujus ipsa AO vel AP est Apotome; sed habet GO, Nomina peculiaria. Cùm enim per Prop. 97, decimi Euclidis, quadratum cujuscunque Apotomes, & sic etiam quadratum PO, extensum ad Effabilem (vt hic ad GT, ipsi GA æqualem) faciat latitudinem GO, primæ speciei Apotomen: ipsa vicissim AO erat Apotome speciei quartæ. Illis igitur GO nomen majus, est Effabile longitudine; hujus AO majus nomen MP erat solâ potentiâ effabile. Et vicissim, quia nomina sunt solâ potentiâ commensurabila; oportet Minus nomen, seu Prosharmozusan ipsius GO, esse solâ potentiâ effabilem: cùm ipsius AO nomen minus AM esset longitudine effabile: utrique tamen hoc manet, quod differentia quadratorum à nominibus de scriptorum, fit quadratum alicujus effabilis longitudine.
Quæ autem sint hujus GO, primæ Apotomes Nomina, relinquo alijs quærendum. Prosharmonzusa quidem ipsi GO vt Apotomæ Primæ est unica sola per 79. Decimi Euclidis. Quæ debet esse talis, vt ejus quadratum sit Effabile non tamen numero quadrato: ipsa verò cum GO debet facere lineam unam Effabilem longitudine: & per 30. Decimi, si ex hac unâ totâ fiet diameter circuli, verbi causa PX; & si Prosharmozusa, paulò longior quâm PA (si quidem tota esset æqualis ipsi PX) ab uno termino Diametri X, applicetur circumferentiæ XG; tunc quâ signa GP connectit, debet esse ipsi PX toti commensurabilis longitudine.
