Binominis & Apotome; demonstratur ad eundem modum, ad quem 33. decimi est demonstrata, tantùm vt pro duabus ῥηταῖς δυνάμει μόνον, adhibeantur ῥηταὶ μήκει, & ubi vox μέσον occurrit, ῥητὸν ponatur: & ultimò comparetur Definitio Binominis & Apotomes.
Quòd autem ex compositione & abstractione Binominis & Apotomes, duos requisitos Effectus præstantium, fiat rursum Effabilis; sic patet. Cùm enim summa quadratorum sit Effabilis, & rectangulum Effabile; compositarum igitur in unum, quadratum constabit ex utriusque quadrato, & duobus rectangulis communibus, ex duabus sc. partibus Effabilibus: quare & totum quadratum Effabile erit: igitur & linea composita, potens illud quadratum. Sit Binominis λμ ejus quandum κο, sit & apotome λθ, ejus quadrum θκ, & sint θκ, κο, juncta simul Effabilia, sit & Rectangulum ex θλ, λμ, effabile, talium autem duo κμ, κξ complent quadratum totius θμ compositæ, quod quadratum est θο.
De abstractione probatur in hunc modum. Si enim composita ex θλ, μλ, id est θμ, est effabilis, erit & dimidia θπ Effabilis, tanquam majus Nomen, & πλ Minus nomen, & altera dimidia πμ; aufer ab ea μσ æqualem ipsi θλ, erit & residua πσ Effabilis, & tota λσ, sc. dupla ipsius πσ. At πσ est residuæ post ablationem Apotomes μσ, à Binomine λμ. Residuum ergo sit Effabile.
IGitur ex secunda biga sexti gradus Num. XVIII. præmisso, linearum inter se planè incommensurabilium, quibus summa quadratorum est Effabilis, Rectangulum Meson; compositione nascitur MIZON, seu MAIOR dicta; abstractione ELASSON, seu MINOR, Ex tertia, ubi summa quadratorum est Meson, Rectangulum Effabile, quæ componendo nascitur, nomen habet Potens effabile & meson, quæ abstrahendo, faciens cum effabili meson totum. Denique ex quarta biga septimi gradus, Num: XIX. præmissâ, ubi uterque Effectus sit Meson; componendo fit Potens bina media, abstrahendo faciens cum meso meson totum.
Et ecce Originem duodecim specierum Euclidearum, earumque Numeri causas. Nam ad remotiores, quæ vel summam quadratorum, vel Rectangulum commune, vel utrumque, proferunt ultra Effabilia & Mesa, in ignobiliores species, non censuit Euclides sibi progrediendum esse.
