Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/98

88

de congruentiis secundi gradus.

nicavit. Postea ab ill. Eulero frustra semper est investigata: at ill. La Grange primus demonstrationem rigorosam reperit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin 1775. p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259.

Residua $+3$ et $-3$.

117.

Pergimus ad residua $+3$ et $-3$. A posteriori initium faciamus.

Reperiuntur ex tab. II numeri primi, quorum residuum est $-3$, hi: 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, inter quos nullus invenitur formae $6n+5$. Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur, quorum residuum $-3$, ita demonstramus: Primo patet, quemvis numerum compositum formae $6n+5$ necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere. Quousque igitur nulli numeri primi formae $6n+5$ dantur, quorum residuum $-3$, eousque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus $=t$, ponaturque $-3=aa-tu$. Tunc erit, si acceperis $a$ parem ipsoque $t$ minorem, $u<t$ atque $-3$ residuum ipsius $u$. Sed quando $a$ formae $6n\pm 2$, $tu$ erit formae $6n+1$, adeoque $u$ formae $6n+5$, Q. E. A. quia $t$ minimum esse numerum inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero $a$ formae $6n$, erit $tu$ formae $36n+3$ adeoque ${\tfrac {1}{3}}tu$ formae $12n+1$, quare ${\tfrac {1}{3}}u$ erit formae $6n+5$; patet autem, $-3$ etiam ipsius ${\tfrac {1}{3}}u$ residuum fore, atque esse ${\tfrac {1}{3}}u<t$, Q. E. A. Manifestum itaque, $-3$ nullius numeri formae $6n+5$ residuum esse posse.

Quoniam quisque numerus formae $6n+5$ necessario vel sub forma $12n+5$, vel sub hac $12n+11$ continetur, prior autem forma sub hac $4n+1$, posterior sub hac $4n+3$, haec habentur theoremata:

I. Cuiusvis numeri primi formae $12n+5$, tum $-3$ tum $+3$ non-residuum est.

II. Cuiusvis numeri primi formae $12n+11$, $-3$ est non-residuum, $+3$ vero residuum.