Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/83

Haec pagina emendata est
SECTIO QUARTA


DE

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.





Residua et non-residua quadratica.
94.

Theorema. Numero quocunque pro modulo accepto, ex numeris , , , , plures quam , quando est par, sive plures quam , quando est impar, quadrato congrui fieri non possunt.

Dem. Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis numerus, qui ulli quadrato congruus fieri potest, etiam quadrato alicui cuius radix congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum , , , considerare. At facile perspicitur, esse , , etc. Hinc etiam, quando est par, quadratorum et , et etc. residua minima eadem erunt: quando vero est impar, quadrata et , et etc. erunt congrua. Unde palam est, alios numeros, quam qui alicui ex quadratis , , , congrui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando par; quando vero impar, quemvis numerum, qui ulli quadrato sit congruus, alicui ex his , , , necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu residua minima diversa, in posteriori . Q. E. D.

Exemplum. Secundum modulum 13 quadratorum numerorum 0, 1, 2, 3 … 6 residua minima inveniuntur 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10, post haec vero eadem

I- 10