Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/395

Haec pagina emendata est

385

conversio fractionum communium in decimales.

rum indices $f+2$ , $2f+2$ , $3f+2$ etc.; generaliterque e periodo fractionis cum numeratore $r^{i}\!$ derivari poterunt periodi fractionum cum numeratoribus, quorum indices $f+i$ , $2f+i$ , $3f+i$ etc. Hinc facile colligitur, si tantummodo periodi fractionum cum numeratoribus $1$ , $r$ , $rr$ , $r^{3}\!$ … $r^{f-1}\!$ habeantur, omnes reliquas inde per solam transpositionem deduci posse adiumento regulae sequentis: Sit index numeratoris $m$ fractionis propositae ${\tfrac {m}{p^{\mu }}}$ , in systemate ubi $r$ pro basi acceptus est, $=i$ (quem supponimus minorem quam $(p-1)p^{\mu -1}\!$ ) fiat (dividendo per $f$ ) $i=\alpha f+\beta$ , ita ut $\alpha$ , $\beta$ sint integri positivi (sive etiam $0$ ) atque $\beta <f$ ; quo facto orietur periodus fractionis ${\tfrac {m}{p^{\mu }}}$ , e periodo fractionis, cuius nuraerator $r^{\beta }\!$ (adeoque $1$ , quando $\beta =0$ ), collocando huius $\alpha$ primas figuras post reliquas (adeoque hanc ipsam periodum retinendo, quando et $\alpha =0$ ). Haec sufficienter declarabunt, cur in condenda tabula I normam in art. 72 explicatam sequuti simus.

316.

Secundum haec principia pro omnibus denominatoribus formae $p^{\mu }\!$ infra 1000 tabulam periodorum necessariarum construximus, quam integram sive etiam ulterius continuatam occasione data publici iuris faciemus. Hoc loco tabula III usque ad 100 tantum producta tamquam specimen sufficiat, cui explicatione vix opus erit. Pro iis denominatoribus, ubi $10$ est radix primitiva, periodos fractionum cum numeratore $1$ exhibet (puta pro 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97); pro reliquis, $f$ periodos numeratoribus $1$ , $r$ , $rr$ ,… $r^{f-1}\!$ respondentes, quae per numeros adscriptos $(0)$ , $(1)$ , $(2)$ etc. sunt distinctae; pro basi $r$ semper eadem radix primitiva adoptata est ut in tabula I. Hinc igitur periodus fractionis cuiusvis, cuius denominator in hac tabula continetur, adiumento praeceptorum art. praec. erui poterit, postquam numeratoris index per tabulam I est computatus. Ceterum pro denominatoribus tam parvis negotium aeque facile absque tabula I absolvere poterimus, si per divisionem vulgarem tot figuras initiales mantissae quaesitae computamus, quot per art. 313 necessariae sunt, ut ab omnibus aliis eiusdem denominatoris distingui possit (pro tabula III non plures quam $2$ ), omnesque periodos denominatori dato respondentes perlustramus, usquedum ad illas figuras initiales perveniamus, quae periodi initium haud dubie indicabunt; monere tamen oportet, illas figuras etiam separatas esse posse, ita ut prima (vel plures) finem alicuius periodi constituant, reliqua vel reliquae eiusdem initium.

Ex. Quaeritur periodus fractionis 12/19. Hic pro modulo 19 per tab. I

I. 49