Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/391

Haec pagina emendata est
381
resolutio fractionum in simpliciores.

Sol. Sint fractiones quaesitae ,, fierique debebit ; hinc erit radix congruentiae , quae per Sect. II erui poterit, vero fiet .

Ceterum constat, congruentiam radices infinite multas, sed secundum congruas, habere, unica vero tantum positiva minorque quam dabitur; fieri autem potest etiam, ut evadat negativus. Vix necesse erit monere, etiam per congruentiam , atque per aequationem inveniri posse. E. g. proposita fractione 58/77, erit 4 valor expr. 58/11 (mod. 7), unde 58/77 resolvitur in 4/7+2/11.


310.

Si fractio proponitur, cuius denominator est productum e factoribus quotcunque inter se primis , , , etc. : per art. praec. primo in duas resolvi potest, quarum denominatores sint et etc.; secunda iterum in duas denominatorum et etc.; posterior rursus in duas et sic porro, unde tandem fractio proposita sub hanc formam redigetur etc. Numeratores , , , etc. manifesto positivos ac denominatoribus suis minores accipere licebit, praeter ultimum, qui reliquis determinatis non amplius est arbitrarius, atque etiam negativus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non supponimus ). Tum plerumque e re erit, ipsum sub formam redigere, ita ut sit positivus ac minor quam , vero integer. Denique patet, , , etc. ita accipi posse, ut sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates.

Ex. Fractio 391/924, cuius denominator =4.3.7.11 hoc modo resolvitur in 1/4+40/231; 40/231 in 2/338/77; −38/77 in 1/77/11; unde, scribendo 4/11−1 pro −7/11 fit 391/924 = 1/4+2/3+1/7+4/11−1.


311.

Fractio unico tantum modo sub formam etc. reduci potest, ita ut , etc. sint positivi ac minores quam , etc. scilicet supponendo etc.etc.