Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/39

Haec pagina emendata est

29

solutio congruentiarum.

$\beta$ valores diversi ipsius $y$ etc., illis congruentiis satisfacientes: manifestoque omnes solutiones congruentiarum propositarum (si quae omnino dantur) inter illas reperientur. Attamen hanc conclusionem convertere non licet; nam plerumque non omnes combinationes omnium $\alpha$ valorum ipsius $x$ cum omnibus ipsius $y$ cum omnibus ipsius $z$ etc. problemati satisfaciunt, sed quaedam tantum, quarum nexum per unam pluresve congruentias conditionales exhibere licet. At quum completa huius problematis resolutio ad sequentia non sit necessaria, hoc argumentum fusius hoc loco non exsequimur, exemploque ideam qualemcunque de eo dedisse sat habemus.

Propositae sint congruentiae $3x+5y+z\equiv 4,\ 2x+3y+2z\equiv 7,\ 5x+y+3z\equiv 6{\pmod {12}}$ Hic fiunt $\xi ,\xi ',\xi ''\!$ ; $\upsilon ,\upsilon ',\upsilon ''\!$ ; $\zeta ,\zeta ',\zeta ''\!$ ; resp. $=1,-2,1$ ; $1,1,-1$ ; $-13,22,-1$ , unde $4x\equiv -4$ , $7y\equiv 5$ , $28z\equiv 96$ . Hinc prodeunt quatuor valores ipsius $x$ puta $\equiv 2,5,8,11$ ; unus valor ipsius $y$ puta $\equiv 11$ ; quatuor valores ipsius $z$ puta $\textstyle \equiv 0,3,6,9{\pmod {12}}$ . Iam ut sciamus, quasnam combinationes valorum ipsius $x$ cum valoribus ipsius $z$ adhibere liceat, substituimus in congruentiis propp. pro $x,y,z$ resp. $2+3t,11,3u$ , unde transeunt in has $57+9t+3u\equiv 0,\ 30+6t+6u\equiv 0,\ 15+15t+9u\equiv 0\!\!\!{\pmod {12}}$ quibus facile intelligitur aequivalere has $19+3t+u\equiv 0,\quad 10+2t+2u\equiv 0,\quad 5+5t+3u\equiv 0{\pmod {4}}$ Prima manifeste requirit, ut sit $\textstyle u\equiv t+1{\pmod {4}}$ , quo valore in reliquis substituto etiam his satisfieri invenitur. Hinc colligitur, valores ipsius $x$ hos $2,5,8,11$ (qui prodeunt statuendo $t\equiv 0,1,2,3$ ) necessario combinandos esse cum valoribus ipsius $z$ his $z\equiv 3,6,9,0$ resp., ita ut omnino quatuor solutiones habeantur ${\begin{array}{rcrrrrl}x&\ \equiv \quad &\ 2,&\ 5,&\ 8,&11&{\pmod {12}}\\y&\ \equiv \quad &11,&11,&11,&11&\\z&\ \equiv \quad &\ 3,&\ 6,&\ 9,&\ 0&\\\end{array}}$