Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/131

121

numerorum repraesentatio.

quod nostra sine nova illorum expositione ne intelligi quidem possent. Nullum vero dubium nobis esse videtur, quin multa eaque egregia in hoc genere adhuc lateant, in quibus alii vires suas exercere possint. Ceterum quae ad veritatum insignium historiam pertinent, loco suo semper trademus.

Formam $axx+2bxy+cyy$, quando de indeterminatis $x$, $y$ non agitur, ita designabimus, $(a,b,c)$. Haec itaque expressio denotabit indefinite summam trium partium, producti numeri dati $a$ in quadratum indeterminatae cuiuscunque; producti duplicati numeri $b$ in hanc indeterminatam in aliam indeterminatam; producti numeri $c$ in quadratum huius secundae indeterminatae. Ex. gr. (1, 0, 2) exprimet summam quadrati et quadrati duplicati. Ceterum, quamvis formae $(a,b,c)$ et $(c,b,a)$ idem designent, si ad partes ipsas tantum respicimus, tamen different, si insuper ad partium ordinem attendimus: quare sedulo eas in posterum distinguemus; quid vero inde lucremur, in sequentibus sufficienter patebit.

Numerorum repraesentatio; determinans.

154.

Numerum aliquem datum per formam datam repraesentari dicemus, si formae indeterminatis tales valores integri tribuuntur, ut ipsius valor numero dato fiat aequalis. Hic habebimus sequens

Theorema. Si numerus $M$ ita per formam $(a,b,c)$ repraesentari potest, ut indeterminatarum valores, per quos hoc efficitur, inter se sint primi; erit $bb-ac$ residuum quadraticum numeri $M$.

Dem. Sint valores indeterminatarum $m$, $n$, scilicet $amm+2bmn+cnn=M$ accipianturque numeri $\mu$, $\nu$ ita ut sit $\mu m+\nu n=1$ (art. 40). Tum per evolutionem facile probatur esse $(amm+2bmn+cnn)(a\nu \nu -2b\mu \nu +c\mu \mu )\qquad \qquad \qquad \qquad$ $\qquad \qquad =(\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb))^{2}-(bb-ac)(m\mu +n\nu )^{2}$ sive $M(a\nu \nu -2b\mu \nu +c\mu \mu )=(\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb))^{2}-(bb-ac)$ Quare erit

I. 16