Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/119

Haec pagina emendata est

109

theorema fundamentale.

141.

Casus quintus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ eiusdem formae, atque $+pRh$ sive $-pNb$ , nequit esse $+bRp$ sive $-bNp$ . (Casus tertius supra).

Sit $\textstyle p=e^{2}{\pmod {b}}$ , atque $e$ par et $<b$ .

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Ponatur $e^{2}=p+bf$ , eritque $f$ positivus, formae $4n+3$ , $<b$ atque ad $p$ primus. Porro erit $pRf$ adeoque per prop. 13 art. 132, $-fRP$ . Hinc et ex $+bfRp$ fit $-bRp$ adeoque $+bNp$ . Q. E. D.

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ atque $ggp=1+bh$ . Tum erit $h$ formae $4n+1$ atque ad $p$ primus, $\textstyle p\equiv g^{2}p^{2}{\pmod {h}}$ , adeoque $pRh$ ; hinc fit $+hRp$ (prop. 10 art. 132), unde et ex $-bhRp$ sequitur $-bRp$ , sive $+bNp$ . Q. E. D.

142.

Casus sextus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ formae $4n+1$ , atque $pRb$ , non poterit esse $\pm bNp$ . (Supra casus septimus).

Demonstrationem praecedenti omnino similem omittimus.

143.

Casus septimus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ eiusdem formae, atque $+pNb$ sive $-pRb$ , non poterit esse $+bNp$ sive $-bRp$ . (Casus quartus supra).

Sit $\textstyle -p\equiv e^{2}{\pmod {b}}$ , atque $e$ par et $<b$ .

I. Quando $e$ per $p$ non divisibilis. Sit $-p=e^{2}-bf$ eritque $f$ positivus, formae $4n+1$ , ad $p$ primus ipsoque $b$ minor (etenim $e$ certo non maior quam $b-1$ , $p<b-1$ , quare erit $bf=e^{2}+p<b^{2}-b$ , i. e. $f<b-1$ ). Porro erit $-pRf$ hinc (prop. 10 art. 132) $+fRp$ , unde et ex $+bfRp$ fit $+bRp$ , sive $-bNp$ .

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ , atque $g^{2}p=-1+bh$ . Tum erit $h$ positivus, formae $4n+3$ , ad $p$ primus et $<b$ . Porro erit $-pRh$ , unde fit (prop. 14 art. 132) $+hRp$ . Hinc et ex $bhRp$ sequitur $+bRp$ sive $-bNp$ . Q. E. D.