Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/116

106

de congruentiis secundi gradus.

Quando $T+1$ est formae $4n+3$, p vero formae $4n+1$, theor. fund. falsum erit, si fuerit vel$+p{R}(T+1)$ (sive $-p{N}(T+1)$) et $\pm (T+1){N}p$ vel$+p{N}(T+1)$ (sive $-p{R}(T+1)$) et $\pm (T+1){R}p$

Si demonstrari poterit, nullum horum octo casuum locum habere posse, simul certum erit, theorematis fundamentalis veritatem nullis limitibus circumscriptam esse. Hoc itaque negotium nunc aggredimur: at quoniam alii horum casuum ab aliis sunt dependentes, eundem ordinem, quo eos hic enumeravimus, servare non licebit.

137.

Casus primus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ($=a$), atque $p$ eiusdem formae; insuper vero $\pm p{R}a$, non potest esse $\pm a{N}p$. Hic casus supra fuit primus.

Sit $\textstyle +p\equiv e^{2}{\pmod {a}}$, atque $e$ par et $<a$ (quod semper obtineri potest). Iam duo casus sunt distinguendi.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Ponatur $e^{2}=p+af$ eritque $f$ positivus, formae $4n+3$ (sive formae $B$), $<a$, et per $p$ non divisibilis. Porro erit $\textstyle e^{2}\equiv p{\pmod {f}}$, i. e. $p{R}f$ adeoque ex prop. 11 art. 132 $\pm f{R}p$ (quia enim $p$, $f<a$, pro his propositiones istae valebunt). At est etiam $af{R}p$, quare fiet quoque $\pm a{R}p$.

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, ponatur $e=gp$, atque $e^{2}=p+aph$, sive $pg^{2}=1+ah$. Tum erit $h$ formae $4n+3$ ($B$), atque ad $p$ et $g^{2}\!$ primus. Porro erit $pg^{2}{R}h$, adeoque etiam $p{R}h$, hinc (prop. 11 art. 132) $\pm h{R}p$. At est etiam $-ah{R}p$, quia $\textstyle -ah\equiv 1{\pmod {p}}$; quare fiet etiam $\mp a{R}p$.

138.

Casus secundus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ($=a$), $p$ formae $4n+3$, atque $\pm p{R}(T+1)$, non potest esse $+(T+1){N}p$ sive $-(T+1){R}p$. Hic casus supra fuit quintus.

Sit ut supra $e^{2}=p+fa$ atque $e$ par et $<a$.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis, erit etiam $f$ per $p$ non divisibilis. Praeterea autem erit $f$ positivus, formae $4n+1$ (sive $A$), atque $<a$; $+p{R}f$,