Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/114

104

de congruentiis secundi gradus.

non-residuum est $-Q$ (quando $Q$ per se est negativus, manifesto $-Q$ numerum positivum indicabit). Iam omnes factores primi ipsius $P$ in quatuor classes distribuantur.

1) in factores formae $a$, quorum residuum est $Q$.

2) factores formae $b$, quorum residuum $Q$. Horum multitudo sit $\chi$.

3) factores formae $a$, quorum non-residuum est $Q$. Herum multitudo sit $\psi$.

4) factores formae $b$, quorum non-residuum $Q$. Quorum multitudo $=\omega$.

Tum facile perspicitur fore $p=\psi +\omega$, $p'=\chi +\psi$.

Iam quando $P$ est formae $\pm A$, erit $\chi +\omega$ adeoque etiam $\chi -\omega$ numerus par: quare fiet $p'=p+\chi -\omega \equiv$ $\textstyle p{\pmod {2}}$; quando vero $P$ est formae $\pm B$, per simile ratiocinium invenitur, numeros $p$, $p'\!$ sec. $\mathrm {mod.} 2$ incongruos fore.

IV. Applicemus haec ad casus singulos. Sit primo tum $P$ tum $Q$ formae $+A$, eritque ex prop. 1. $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$; aterit $\textstyle p'\equiv p{\pmod {2}}$; quare etiam $\textstyle p'\equiv q{\pmod {2}}$. Quod convenit cum prop. 2. — Simili modo si $P$ est formae $-A$, $Q$ formae $+A$, erit $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$ ex prop. 2 quam modo demonstravimus; hinc, ob $p'\equiv p$, erit $p'\equiv q$. Est itaque etiam prop. 5 demonstrata.

Eodem modo prop. 7 ex 3; prop. 8 vel ex 4 vel ex 7; prop. 9 ex 6; ex eademque prop. 10 derivantur.

Demonstratio rigorosa theorematis fundamentalis.

135.

Per art. praec. propositiones art. 133 non quidem sunt demonstratae, sed tamen earum veritas a veritate theorematis fundamentalis quam aliquantisper supposuimus pendere ostensa est. At ex ipsa deductionis methodo manifestum est, illas valere pro numeris $P$, $Q$, si modo theorema fundamentale pro omnibus factoribus primis horum numerorum inter se comparatis locum habeat, etiamsi generaliter verum non sit. Nunc igitur ipsius theorematis fundamentalis demonstrationem aggrediamur. Cui praemittimus sequentem explicationem.

Theorema fundamentale usque ad numerum aliquem $M$ verum esse dicemus, si valet pro duobus numeris primis quibuscunque, quorum neuter ipsum $M$ superat.

Simili modo intelligi debet, si theoremata artt. 131, 132, 133 usque ad aliquem terminum vera esse dicemus. Facile vero perspicitur, si de veritate theorematis fundamentalis usque ad aliquem terminum constet, has propositiones usque ad eundem terminum locum esse habituras.