Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/113

103

per inductionem theorema generale stabilitur.

134.

Aggrediamur nunc deductionem harum propositionum.

I. Concipiatur, ut ante, $P$ in factores suos primos resolutus, signis neglectis, insuperque etiam $Q$ in factores quomodocunque resolvatur, ita tamen ut signi ipsius $Q$ ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum si $s$ designat multitudinem omnium combinationum, in quibus factor ipsius $Q$ est non-residuum factoris ipsius $P$, $p$ et $s$ vel simul pares vel simul impares erunt. Sint enim factores primi ipsius $P$, hi $f$, $f'\!$, $f''\!$ etc. et inter factores in quibus $Q$ est resolutus, sint $m$ qui ipsius $f$ sint non-residua, $m'\!$ non-residua ipsius $f'\!$, $m''\!$ non-residua ipsius $f''\!$ etc. Tum facile quisquis perspiciet, fore $s=m+m'+m''+$ etc. $p$ autem exprimere, quot numeri inter ipsos $m$, $m'\!$, $m''\!$ etc. sint impares. Unde sponte patet, $s$ fore parem quando $p$ sit par, imparem quando $p$ sit impar.

II. Haec generaliter valent, quomodocunque $Q$ in factores sit resolutus. Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, ubi alter numerorum, $P$, est positivus, alter vero, $Q$, vel formae $+A$ vel formae $-B$. Resolvantur $P$, $Q$ in factores suos primos, attribuatur singulis factoribus ipsius $P$ Signum positivum, singulis autem factoribus ipsius $Q$ signum positivum vel negativum, prout sunt formae $a$ vel $b$; tunc autem manifeste $Q$ fiet vel formae $+A$ vel $-B$, uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius $P$ cum singulis factoribus ipsius $Q$, designetque ut ante $s$ multitudinem combinationum, in quibus factor ipsius $Q$ est non-residuum factoris ipsius $P$, similiterque $t$ multitudinem combinationum, in quibus factor ipsius $P$ est non-residuum factoris ipsius $Q$. At ex theoremate fundamentali sequitur, illas combinationes identicas fore cum his adeoque $s=t$. Tandem ex iis quae modo demonstravimus, sequitur esse $\textstyle p\equiv s{\pmod {2}}$, $\textstyle q\equiv t{\pmod {2}}$, unde fit $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$.

Habentur itaque propp. 1, 3, 4 et 6 art. 133.

Propositiones reliquae per methodum similem directe erui possunt, sed una consideratione nova indigent; facilius autem ex praecedentibus sequenti modo derivantur.

III. Denotent rursus $P$, $Q$. numeros quoscunque impares inter se primos, $p$, $q$ multitudinem factorum primorum ipsorum $P$, $Q$, quorum non-residua $Q$, $P$ respective. Tandem sit $p'$ multitudo factorum primorum ipsius $P$, quorum