Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/107

Haec pagina emendata est

97

praeparatio ad disquisitionem generalem.

Demonstr. I. Quando $p=2$ , in $\mathrm {(I)}$ omnes termini praeter primum, i. e. $m$ termini divisibiles erunt; totidem autem erunt in $\mathrm {(II)}$ .

II. Sit $p$ numerus impar vel numeri imparis duplum vel quadruplum, atque $\textstyle a\equiv rr{\pmod {p}}$ . Tum in progressione, $-m$ , $-(m-1)$ , $-(m-2)$ , $\ldots$ $+m$ (quae terminorum multitudine cum $\mathrm {(II)}$ convenit et per $\mathrm {(III)}$ designabitur) totidem ad minimum termini erunt secundum modulum $p$ ipsi $r$ congrui, quot in serie $\mathrm {(II)}$ per $p$ divisibiles (art. praec.). Inter illos autem bini, qui signo tantum, non magnitudine, discrepent, occurrere nequeunt^[1]. Tandem quisque eorum correspondentem habebit in serie $\mathrm {(I)}$ , qui per $p$ erit divisibilis. Scilicet si fuerit $\pm b$ aliquis terminus seriei $\mathrm {(III)}$ ipsi $r$ secundum $p$ congruus, erit $a-bb$ per $p$ divisibilis. Quodsi igitur $b$ est par, terminus seriei $\mathrm {(I)}$ , $2(a-bb)$ , per $p$ divisibilis erit. Si vero $b$ impar, terminus ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-bb)$ per $p$ divisibilis erit: namque manifeste ${\tfrac {a-bb}{p}}$ erit integer par, quoniam $a-bb$ per $8$ , $p$ autem ad summum per $4$ divisibilis ( $a$ enim per hyp. est formae $8n+1$ , $bb$ autem ideo, quod est numeri imparis quadratum, eiusdem formae erit, quare differentia erit formae $8n$ ). Hinc tandem concluditur, in serie $\mathrm {(I)}$ totidem terminos esse per $p$ divisibiles, quot in $\mathrm {(III)}$ sint ipsi $r$ secundum $p$ congrui i. e. totidem aut plures quam in $\mathrm {(II)}$ sint per $p$ divisibiles. Q. E. D.

III. Sit $p$ formae $8n$ , atque $\textstyle a\equiv rr{\pmod {2p}}$ . Facile enim perspicitur, $a$ , quum ex hyp. ipsius $p$ sit residuum, etiam ipsius $2p$ residuum fore. Tum in serie $\mathrm {(III)}$ totidem ad minimum termini erunt ipsi $r$ secundum $p$ congrui, quot in $\mathrm {(II)}$ sunt per $p$ divisibiles, illique omnes magnitudine erunt inaequales. At cuique eorum respondebit aliquis in $\mathrm {(I)}$ per $p$ divisibilis. Si enim $+b$ vel $-b$ $\textstyle \equiv r{\pmod {p}}$ , erit $\textstyle bb\equiv rr{\pmod {2p}}$ ^[2], adeoque terminus ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-bb)$ per $p$ divisibilis. Quare in $\mathrm {(I)}$ totidem ad minimum termini erunt per $p$ divisibiles quam in $\mathrm {(II)}$ . Q. E. D.

129.

Theorema. Si $a$ est numerus primus formae $8n+1$ , necessario infra $2\surd {a}+1$ dabitur aliquis numerus primus, cuius non-residuum sit $a$ .

↑ Si enim esset $\textstyle r\equiv -f\equiv +f{\pmod {p}}$ , fieret $2f$ per $p$ divisibilis, adeoque etiam $2a$ (propter $\textstyle ff\equiv a{\pmod {p}}$ ). Hoc autem aliter fieri nequit, quam si $p=2$ , quum per hyp. $a$ ad $p$ sit primus. Sed de hoc casu iam seorsim diximus.
↑ Erit scilicet $bb-rr=(b-r)(b+r)$ e duobus facto ribus compositus, quorum alter per $p$ divisibilis (hyp.), alter per $2$ (quia tum $b$ tum $r$ sunt impares); adeoque $bb-rr$ per $2p$ divisibilis.

I. 13

[1] Si enim esset $\textstyle r\equiv -f\equiv +f{\pmod {p}}$ , fieret $2f$ per $p$ divisibilis, adeoque etiam $2a$ (propter $\textstyle ff\equiv a{\pmod {p}}$ ). Hoc autem aliter fieri nequit, quam si $p=2$ , quum per hyp. $a$ ad $p$ sit primus. Sed de hoc casu iam seorsim diximus.

[2] Erit scilicet $bb-rr=(b-r)(b+r)$ e duobus facto ribus compositus, quorum alter per $p$ divisibilis (hyp.), alter per $2$ (quia tum $b$ tum $r$ sunt impares); adeoque $bb-rr$ per $2p$ divisibilis.

[1]

[2]