Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/103

93

residua $+7$ et $-7$.

${\frac {(a+\surd {b})^{5}-(a-\surd {b})^{5}}{\surd {b}}}$ per $p$ divisibilis. At illa expressio fit $=10a^{4}+20aab+2bb=2((b+5aa)^{2}-20a^{4})$ Erit igitur etiam $(b+5aa)^{2}-20a^{4}\!$ per $p$ divisibilis i. e. $20a^{4}\!$ residuum ipsius $p$, at quoniam $4a^{4}\!$ residuum est per $p$ non divisibile (facile enim intelligitur, $a$ per $p$ dividi non posse), etiam $5$ residuum ipsius $p$ erit. Q. E. D.

Hinc patet theorema in initio huius articuli prolatum generaliter verum esse. —

Observamus adhuc, demonstrationes pro utroque casu ill. La Grange deberi, Mém. de l'Ac. de Berlin 1775, p. 352 sqq.

De $\pm 7$.

124.

Per similem methodum demonstratur,
$-7$ esse non-residuum cuiusvis numeri, qui ipsius $7$ sit non-residuum.

Ex inductione vero concludi potest,
$-7$ esse residuum cuiusvis numeri primi, qui ipsius $7$ sit residuum.

At hoc a nemine hactenus rigorose demonstratum. Pro iis quidem residuis ipsius $7$, quae sunt formae $4n-1$, facilis est demonstratio; etenim per methodum ex praecc. abunde notam ostendi potest, $+7$ semper esse talium numerorum primorum non-residuum, adeoque $-7$ residuum. Sed parum hinc lucramur: reliqui enim casus per hanc methodum tractari nequeunt. Unum quidem adhuc casum simili modo ut artt. 119, 123 absolvere possumus. Scilicet si $p$ est numerus primus formae $7n+1$, atque $a$ pro modulo $p$ ad exponentem $7$ pertinens, facile perspicitur ${\tfrac {4(a^{7}-1)}{a-1}}=(2a^{3}+a^{2}-a-2)^{2}+7(a^{2}+a)^{2}$ per $p$ divisibilem, adeoque $-7(a^{2}+a)^{2}\!$ ipsius $p$ residuum fore. At $(a^{2}+a)^{2}\!$, tamquam quadratum, ipsius $p$ residuum est, insuperque per $p$ non divisibile; quum enim $a$ ad exponentem $7$ pertinere supponatur, neque $\equiv 0$, neque $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$ esse potest, i. e. neque $a$ neque $a+1$ per $p$ divisibilis erit, adeoque etiam quadratum $(a+1)^{2}a^{2}\!$. Unde manifesto etiam $7$ ipsius $p$ residuum