Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/102

Haec pagina emendata est
92
de congruentiis secundi gradus.

eritque , sive . At quia nequit esse , neque adeo ; necessario erit . Quare etiam erit i. e. erit residuum ipsius , adeoque etiam , quia est residuum per non divisibile ( enim per non divisibilis propter ). Q. E. D.

At casus, ubi numerus primus formae proponitur, subtiliora artificia postulat. Quoniam vero propositiones, quarum ope negotium absolvitur, in sequentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus.

I. Si est numerus primus atque non-residuum quadraticum datum ipsius , valor expressionis (ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per divisibilis erit, quicunque numerus pro assumatur. Patet enim ex inspectione coëfficientium, qui ex evolutione ipsius obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad penultimum (incl.) per divisibiles fore, adeoque esse . At quoniam ipsius non-residuum est, erit , (art. 106); autem semper est (Sect. praec.), unde fit . Q. E. D.

II. In congruentia , indeterminata habet dimensiones omnesque numeri , , illius radices erunt. Iam ponatur esse divisorem ipsius eritque expressio (quam per designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata in ipsa dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, per (indefinite) esse divisibilem. Iam dico valores ipsius dari, quibus in substitutis, per divisibilis evadat. Ponatur enim , habebitque in dimensiones , adeoque congruentia non plures quam radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex his , , , , quorum multitudo , congruentiae radices fore.

III. Iam ponatur esse formae , , non-residuum ipsius , atque numerum ita determinatum, ut sit