Liber de figura sectore

EPUB

MOBI

PDF

RTF

TXT

Thebitius filius Corae

Liber de figura sectore

Gerardus Cremonensis Latine vertit ex Arabico, saeculo XII

Saeculo IX

editio: ex Thabits Werk über den Transversalensatz, Max Mencke, Erlangen, 1924; Absalon Antonius Bjørnbo recensuit
fons: librum vide

§ 1. Quod de figura quae nominatur sector dixisti et quod de ea quaesivisti et de ipsius esse, intellexi. Nullam autem geometricarum scio figurarum cum qua in stellarum operetur scientia, in qua maior hominum sit labor quam in figura hac, neque quae ipsa sit famosior. Causa vero studii eorum in ipsa est illud, quod scimus de multitudine utilitatis eius et vehementi necessitate ipsius in scientia sperae, et quod ipsa est radix super quam currit res in pluribus operibus scientiae stellarum. Et quamvis praeter Ptholomeum ad hanc alius antecessit figuram et in ea locutus fuit, non tamen plenarie de ea executus est, neque eius complevit demonstrationem aliquis, de quo audivissemus adhuc. Ipse vero non attulit nisi duas tantum intentiones, quae in ipsa reperiuntur de compositione proportionis. Quae sunt: Quoniam quando secuerint se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge super punctum u et fuerint arcus isti circulorum magnorum arcus qui cadunt in spera, et fuerit unusquisque illorum arcuum minor semicircolo, erit proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Et erit etiam proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be composita ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge.

§ 2. Sunt autem hic intentiones aliae oportunae et necessariae in compositione proportionum cordarum duplorum arcuum qui sunt in hac figura secundum multos alios modos praeter has duas intentiones. Non est enim horum arcuum aliquis cuius dupli cordae proportio ad cordam dupli comparis sui non componatur ex duabus proportionibus, id est ex proportionibus cordarum duplorum arcuum reliquorum exceptis paucis eorum et si ab eis elongentur. Proportio namque cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus dg, nedum aliorum, est composita ex proportionibus cordarum duplorum arcuum reliquorum; et unaquaeque harum proportionum quae secundum aliquem modum componitur, ipsamet componitur secundum modos alios. Quod autem intendimus est distincio illius et ostensio per modos communes illi et reliquis eorum quae sunt similes ex re compositionis proportionis et conveniunt ad exponendum in hac scientia.

Distinctio autem harum rerum et earum allatio [vel comprehensio] non fuit Ptholomeo necessaria neque alicui surgenti secundum eius sententiam [i. e. volenti tueri eius sententiam], quoniam non promisit illud exponere, vero id quod est necessarium in demonstratione duarum intentionum quarum intendit explanationem, et est necessarium illi qui secundum eius vult sententiam surgere.

Ipse enim non attulit nisi unam de divisionibus demonstrationis harum duarum intentionum, reliquas vero divisiones ipsius dimisit, confidens quod qui legeret illud et intelligeret, posset sequi ipsius exemplum in reliquis divisionibus et inveniret eius demonstrationem. Et res quidem istae expositoribus libri huius ipsius necessariae fuerunt; ego vero iam exposui illud colloquendo ad eum qui a me quaesivit eius expositionem, sed non affirmavi neque eius divisiones in libro ostendi. Verum tamen quidam nostrorum sociorum, propterea quod scivit illud et intellexit, affirmavit sibi et comprehendit omnia huius figurae accidentia quae contingunt in ea, et divisiones eius per quas dividitur secundum duos modos, scilicet dissolutionis et compositionis, quos Ptholomeus demonstrare [vel probare] voluit.

§ 3. Et scivit (id est discupulus), quod accidunt ei secundum modum dissolutionis tres divisiones et secundum modum compositionis viginti septem divisiones, quarum delentur et evanescunt quattuordecim et verificantur reliquae. Et neque completur demonstratio eius quod Ptholomeus probare voluit de hac figura nisi comprehensione scientiae earum et affirmatione probationis cuiusque divisionis earum. Iam autem feci te videre harum divisionum esse, et scivisti eas et intellexisti; et feci te scire, quod hic sunt viae et intentiones aliae communes, quae aggregant has divisiones, plures, sine quibus non completur figurae probatio, et comprehendunt eas in paucis rebus; et ego multociens eas ostendi. Sed tu dicebas ut ostenderem tibi opus per quod ipse illud operatus est. Voluisti ergo scire, si fuerit unum illorum operum per quae operatus sum an non, et si aestimo quod Ptholomeus ad hoc illud opus intendit in eo cuius dimisit probationem de divisionibus harum duarum intentionum quarum praecessit narratio huius figurae, an ad aliud. Sed opus quod est unum operum, per quae operatus sum, non aestimo quod Ptholomeus ad hoc intenderit in eo cuius praemisit narrationem de demonstratione figurae. At ad viam primam ex qua dividuntur in duobus modis dissolationis et compositionis triginta divisiones, de quibus perveniunt (?) sedecim divisiones verae. Quod est, quoniam haec via quae aggregat has divisiones in re parva, et est secundum quod narro:

§ 4. Cum secuerint se inter duos arcos ab bg duo arcus ad ge supra punctum u, fuerintque hii arcus ex arcubus circulorum maiorum, qui cadunt in spera, et fuerit unusquisque arcus eorum minor semicirculo: tunc erit proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Quod sic probatur: Ponam enim centrum sperae punctum z, et producam lineas zg, zu, ze, et producam duas lineas ab ad, quae secent duas lineas ze, zu super duo puncta h t, et producam lineam ht et lineam bd. Linea igitur bd aut concurret lineae zg cum protrahetur secundum rectitudinem a parte dg aut a parte altera et diversa, aut erunt aequidistantes. Quod si concurrerint a parte dg, ostendetur cum probatione quam narravit Ptholemeus, quod proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Quod si concurrerint zg db a parte diversa huic parti, producemus duos arcus gb ge, donec concurrant supra punctum k. Erunt ergo gbk gek duo semicirculi, quoniam hii arcus sunt circulorum maiorum spaerae. Et duae lineae gzk db, cum protrahentur in parte bk, concurrent; et iam secabunt se inter duos arcus ad dk duo arcus ab ku supra punctum e. Erit ergo res in eo iam reversa ad probationem quam narravit Ptholomeus, et fiet proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud composita ex proportione cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb et ex proportione cordae dupli arcus bk ad cordam dupli arcus kd.

Omnium autem sex quantitatum quarum primae proportio ad secundam componitur ex proportione tertiae ad quartam et ex proportione quintae ad sextam, erit proportio tertiae ad quartam composita ex proportione primae ad secundam et ex proportione sextae ad quintam, quemadmodum ostendam in sequentibus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proporione cordae dupli arcus kd ad cordam dupli arcus kb. Corda autem dupli arcus kd est corda dupli arcus gd, et corda dupli arcus kb est corda dupli arcus gb; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Et illud est quod demonstrare voluimus.

Quod si fuerit linea bd aequidistans lineae zg, tunc linea ht erit aequidistans lineae bd, quoniam si non fuerit aequidistans ei, tunc zg non aequidistabit bd, sed zg fuit aequidistans bd. Et si esset linea ht non aequidistans duabus lineis bd zg, concurreret eis, et esset cum eis in superficie una. Res autem non est sic, duae igitur lineae ht bd aequidistant, et propter illud erit proportio ah ad hb sicut proportio at ad td; proportio autem ah ad hb est sicut proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb, et proportio at ad td est sicut proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud; corda autem dupli arcus gd est aequalis cordae dupli arcus bg, linea enim bd aequidistat lineae gz ; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus bg.