Migne Patrologia Latina Tomus 63
PRIMO LIBERO.
63.1307A| Quia vero, mi Patrici geometrarum exercitatissime, Euclidis de artis geometricae figuris obscure prolata, te adhortante, exponenda et lucidiore aditu expolienda suscepi, imprimis quid sit mensura definiendum opinor.
De menura.
Mensura vero est quidquid pondere, capacitate, longitudine, altitudine, latitudine, animoque finitur. Principium autem mensurae punctum vocatur. Punctum est, cujus pars nulla est. Linea vero sive latitudine longitudo est, lineae vero fines puncta sunt.
De generibus linearum.
Recta linea est quae aequaliter in suis protenditur punctis. Superfici vero est quod longitudine latitudineque 63.1307B| censetur. Superficiei autem fini lineae sunt.
Plana superficies dicitur quae aequaliter in rectis suis lineis continetur.
De generibus angulorum.
Planus angulus est duarum linearum in plano invicem sese tangentium, et non in directo jacentium ad alterutram conclusionio. 63.1307C|
Quando autem quae angulum continent lineae rectae sunt, tunc rectilineus angulus nominatur. 63.1307D|
63.1308A| Cum vero recta linea super rectam lineam stans circum se aequos sibi invicem fecerit angulos, rectus est uterque aequalium angulorum. Et linea super rectam lineam stans perpendicularis dicitur. Subtusus angulus major recto est.
De modis figurarum.
Figura est quod sub aliquo vel a liquibus terminis continetur.
Terminus vero quod cujusque est finis.
Circculus vero est figura quaedam plana et circumducta 63.1308B| et sub una linea contenta, quae circumferentia vocatur, ad quam a puncto quod intra figuram positum est omnes quae incidunt rectae lineae sibi invicem sunt aequales; hoc vero punctum centrum circuli nominatur. 63.1308C|
Diametrus autem circuli est recta quaedam linea per centrum ducta, et ab utraque parte in circumferentia circuli terminata, quae in duas aequas partes circulum dividit.
Semicerculus vero est plana figura quae sub diametro, et ea quam diametrus apprehendit, circumferentia continetur. 63.1308D|
Rectilineae figurae sunt quae sub rectis lineis continentur.
63.1309A| Trilatera quidem figura est quae sub tribus rectis lineis continetur.
Quadrilatera autem, quae sub quatuor.
Finitima vero mensuralis est linea quae aut pro aliqua observatur, aut aliquo terminorum observatur.
Multilatera itaque figura est, quae sub pluribus quam quatuor lateribus continetur.
De triangolo.
Aequilaterum igitur triangulum est quod tribus aequis lateribus continetur. 63.1309B|
Isosceles autem est quod duo tantummodo latera habeat aequalia.
Scalenum vero quod tria latera habet inaequalia. 63.1309C|
Amplius trilaterarum figurarum orthogonium, id est rectiangulum, quidem triangulum est quod habet angulum unum rectum.
Amblygonium autem, quod latino obtusiangulum 63.1309D| dicitur, est quod obtusum habet angulum.
Oxygonium vero, id est acutiangulum, est in quo tres anguli sunt acuti. 63.1310A|
De quadrati.
Quadrilaterum vero figurarum quadratum vocatur quod est aequilaterum atque rectiangulum. 63.1310B|
Parte altera longius vero est quod rectiangulum quidem est, sed aequilaterum non est.
Rhombus vero est quod aequilaterum quidem est, sed rectiangulum non est. 63.1310C|
Rhomboïdes autem est quod in contrarium collocatas lineas atque angulos habet aequales, non autem rectis angulis nec aequis lateribus continetur.
Praeter haec autem omnes quadrilaterae figurae trapezia, id est mensulae nominantur. 63.1310D|
Parallelae, id est alternae rectae lineae, nuncupantur, quae eadem plana superficie collocatae atque utrique productae in neutra parte concurrunt.
De petitibus quae sunt in geometrica.
Petitiones vero quae postulata (ut veteribus placuit) dicuntur, quinque sunt.
Prima, ut ab omni puncto in omne punctum recta linea ducatur postulat.
63.1311A| Secunda, ut definita recta linea in continuum rectumque producatur admonet.
Tertia, omni centro et omni spatio circulum designare praecipit. 63.1311B|
Quarta, omnes rectos angulos sibi invicem aequos esse vult.
Quinta autem, si in duas rectas lineas linea recta incidens interiores duos angulos et in eadem parte duobus rectis fecerit minores, rectas lineas in infinitum productas ad eas partes in quibus duo interiores anguli duobus rectis minores sunt, concurrere jubet. 63.1311C|
De communibus animi conceptionibus quae sunt in geometrica.
Communes igitur animi conceptiones sunt quae a Graecis κοιναὶ ἔννοιαι vocantur, cum spatia et intervalla eidem sunt aequalia, et sibi invicem sunt aequalia; et si ab aequalibus aequalia auferantur quae relinquuntur, aequalia sunt; et si aequalibus aequalia addantur, tota quoque aequalia sunt; et quae sibimet 63.1311D| ipsis conveniunt aequalia sunt.
Omne parallelogrammum rectiangulum sub iis duabus rectis lineis quae rectum ambiunt angulum dicitur contineri.
Omnis vero parallelogrammi spatii unum quodque eorum quae circa eumdem diametrum sunt parallelogrammorum cum duobus supplementis gnomon nuncupatur.
Circuli sunt aequales quorum diametri sunt aequales, inaequales vero sunt qui sic se non habent.
Recta linea circulum contingere dicitur quae cum circulum tangat, in utraque ejecta parte non secat circulum. 63.1312A|
Circuli se invicem contingere dicuntur, qui tangentes sese invicem non secant. 63.1312B|
Rectae lineae in circulo a centro dictare aequaliter dicuntur, quando a centro in ipsas ductae perpendiculares invicem sibi sunt aequales. 63.1312C|
Plus vero a centro distare dicitur linea in quam perpendicularis longior cadit.
63.1312D| Portio circuli est figura quae sub recta et circuli circumferentia continetur.
In porzioni circuli angulus esse dicitur, quando in circumferentia porzioniis sumitur aliquod punctum, et ab eodem puncto ad lineae terminos duae recte lineae subjunguntur.
63.1313A| Angulus circuli dicitur qui sub duobus a centro ductis lineis continetur. Quando lineae quae adjunguntur aliquam circumferentiae comprehendunt particulam, in ea angulus consistere perhibetur. 63.1313B|
Sector circuli est figura quae sub duabus a centro ductis lineis, et sub circumferentia, quae ab eisdem comprehenditur, continetur. 63.1313C|
Similes circulorum porzioni dicuntur quae aequales suscipiunt angulos, vel in quibus qui inscribuntur anguli sibi invicem sunt aequales.
Igitur intra figuram dicitur inscribi, quando ea quae inscribitur ejus in quam inscribitur latera unoquoque suo angulo ab interiore parte contingit. 63.1313D|
Figura vero figurae circumscribi perhibetur, quotiens ea quae circumscribitur suis omnibus lateribus omnes angulos ejus cui circumscribitur tangit.
PROLEGOMENI ESPLICITI. SCHEMA DI INCIPIUNT.
Supra datam rectam lineam terminatam triangulum aequilaterum constituere. 63.1314A|
Ad datum punctum datae rectae lineae aequalem rectam lineam collocare. 63.1314B|
Duabus lineis rectis inaequalibus datis, a majore minori aequam rectam lineam abscindere oportet. 63.1314C|
Si duo triangula duo latera duobus lateribus habent 63.1314D| aequa, alterum alteri et angulum angulo aequum eum qui sub aequalibus rectis lineis continetur, et basim basi aequam habebunt, et triangulum triangulo aequum erit, et reliqui anguli reliquis angulis erunt aequales, alter alteri sub quibus aequalia latera subtenditur.
63.1315A| Triangulorum isoscelium anguli, qui ad basim sunt, aequi sibi invicem sunt. 63.1315B|
Si trianguli duo anguli, aequi sibi invicem sint, et quae aequalibus angulis subtenduntur latera sibi invicem erunt aequalia.
63.1315C| Super eamdem rectam lineam duabus eisdem rectis lineis aliae duae rectae lineae aequales, altera alteri nullo modo constituentur, ad aliud atque aliud punctum ad easdem partes eosdem fines primis rectis lineis possidentes. 63.1315D|
Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint aequalia, basisque unius basi alteri aequalis, duos angulos aequis lateribus contentos, aequales esse necesse est.
63.1316A| Datam rectam lineam terminatam in duas aequales dividere partes.
Data recta linea ab eo quod in ea est puncto, rectam lineam secundum rectos angulos elevare. 63.1316B|
Si duo triangul duo latera duobus lateribus aequa possideant, alterum alteri, et basim basi habeant aequam, et angulum angulo habebunt aequalem, qui sub aequalibus rectis lineis continetur. 63.1316C|
Supra datam rectam lineam infinitam ab dato puncto, quod ei non inest, perpendicularem rectam lineam ducere oportet. 63.1316D|
Quaecunque super rectam lineam recta consistens angulos fecerit, aut duos rectos faciet, aut duobus rectis reddet aequales.
Si ad aliquam rectam lineam atque ad ejus punctum duae rectae lineae non in eamdem partem ducantur, 63.1317A| et circum se angulos duobus rectis fecerint aequos, in directum sibi eas lineas jacere necesse est.
Si duae rectae lineae sese dividant, ad verticem angulos sibi invicem facient aequos. 63.1317B|
Omnium triangulorum uno latere producto, dexterior angulus utrisque interioribus et ex adverso angulis constitutis major existit. 63.1317C|
Omnium triangulorum duo anguli duobus rectis angulis sunt minores omnifariam sumpti. 63.1317D|
Omnium triangulorum majus latus sub angulo majore subtenditur.
63.1318A| Omnium triangulorum major angulos sub latere majore protenditur.
Omnium triangulorum duo latera caetero majora sunt in omnem partem suscepta. 63.1318B|
Si in uno quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae lineae interius constituantur angulum facientes, quae constituuntur reliquis quidem trianguli duobus lateribus minores erunt, majorem vero angulum continebunt. 63.1318C|
Ad datam rectam lineam, et datum in ea punctum, dato rectilineo angulo aequalem, rectilineum angulum collocare necesse est. 63.1318D|
Si duo trianguli duos angulos duobus angulis habuerint aequos alterum alteri, unumque latus uni lateri sit aequale, aut quod aequis adjacet angulis, aut quod sub uno aequalium subtenditur angulorum, et reliqua latera reliquis lateribus habebunt aequa alteram alteri, et reliquum angulum aequalem reliquo a ngulo possidebunt . 63.1319A|
Si in duas rectas lineas linea incidens recta alternatim angulos fecerit aequos, rectas lineas alternas esse necesse est. 63.1319B|
Si in duas rectas lineas linea incidens recta exteriorem angulum interiori, et ex adverso angulo constituto reddat aequalem, aut interiores et ad easdem partes angulos duobus rectis aequales faciat, rectas lineas sibi alternas esse conveniet. 63.1319C|
Per datum punctum datae rectae lineae alternam rectam lineam designare necesse est.
Omnium triangulorum esterno angulus duobus 63.1319D| interius et ex adverso constitutis angulis est aequalis, interiores vero trianguli tres anguli duobus rectis angulis sunt aequales.
Quae aequas et alternas rectas lineas ad easdem partes rectae lineae conjungunt, ipsae quoque alternae sunt et aequales. 63.1320A|
Eorum spatiorum, quae alterius alteribus continentur quae parallelogramma nominantur, et ex adverso latera atque anguli constituti sibi invicem aequales sunt, ea quoque diametrus in duo aequa partitur. 63.1320B|
Omnia parallelogramma quae in iisdem basibus et in eisdem alternis lineis fuerint constituta, sibi invicem probantur aequalia. 63.1320C|
Omnia parallelogramma in basibus aequalibus et in eisdem alternis lineis constituta aequalia ea necesse est.
Aequa sibi sunt cuncta triangula quae in aequis 63.1320D| basibus et in eisdem alternis fuerint lineis constituta.
Aequa triangula, quae in eadem basi et in eadem parte fuerint constituta, in eisdem quoque alternis lineis esse pronuntianda sunt. 63.1321A|
Aequa triangula in aequis atque in directum positis basibus constituta, et in eisdem partibus, et in eisdem quoque alternis esse necesse est. 63.1321B|
Si parallelogrammum, triangulumque in eadem basi atque in eisdem alternis lineis fuerint constituta, parallelogrammum triangulo duplex esse conveniet. 63.1321C|
Juxta datam rectam lineam dato triangulo in rectilineo dato angulo parallelogrammum aequale praetendendum est. 63.1321D|
Dato rectilineo aequale parallelogrammum in dato rectilineo angulo collocare oportet. 63.1322A|
Omnis parallelogrammi spatii eorum quae circa eamdem diametrum sunt, parallelogrammorum supplementa aequa sibi invicem esse necesse est. 63.1322B|
Quadratum ad datam rectam terminatam describendum est. 63.1322C|
Nel suo triangulis in quibus unus rectus est angulus, quae rectiangula nominamus, quadratum quod a latere rectum angulum subtendente describitur, aequum est his quadratis quae a continentibus rectum angulum lateribus conscribuntur. 63.1322D|
63.1323A| Si ab uno trianguli latere quadratum quod describitur aequum fuerit his quadratis, quae ab reliquis duobus lateribus describuntur, rectus est angulus, qui sub duobus reliquis lateribus continetur. 63.1323B|
EX SECUNDO LIBRO EUCLIDIS MEGARENSIS.
Si sunt duae rectae lineae, quarum una quidem est indivisa, altera vero quotlibet divisionibus secta, quod sub duabus rectis lineis rectiangulum continetur, aequum erit his, quae sub ea quae indivisa est. Et unaquaque divisione rectiangula continetur . 63.1323C|
Si recta linea secetur, quod sub tota et una portione rectiangulum continetur, aequum est ei quod sub utraque portione rectiangulum clauditur, et ei quadrato quod ad praedittamportionem describitur.
Si recta linea secetur, ut libet quod scribitur a tota, quadratum aequum est his quae describuntur 63.1323D| ab unaquaque porzioni quadratis, et eidem bis rectiangulo quod sub eisdem est porzionibus convenit.
Si recta linea per aequalia ac per inaequalia secetur, quod sub inaequalibus totius sectionibus rectiangulum continetur, cum eo quadrato quod ab ea describitur 63.1324A| quae inter utrasque est sectiones, aequum est ei quadrato quod describitur ab dimidia.
Si recta linea per aequalia ac per inaequalia secetur, quadrata quae ab inaequalibus totius porzioniibus describuntur, dupla sunt his quadratis quae fiunt ab dimidia, et ab ea quae inter utrasque est sectiones. 63.1324B|
Si recta linea per aequalia dividatur, alia vero ei indirectum linea recta jungatur, quod sub tota cum adjecta, et ea quae adjecta est, rectiangulum continetur, cum eo quod describitur a dimidia quadrato aequum est, ei quadrato quod describitur ab ea quae constat ex adjecta atque dimidia. 63.1324C|
Si recta linea per aequalia secetur, eique in directum quaedam linea recta jungatur, quadratum quod describitur a tota cum ea quae adjecta est, et quadratum quod describitur ab ea quae adjecta est. 63.1324D|
Utraque quadrata pariter accepta, quadrato quod describitur a dimidia, ac eo quadrato quod ab ea describitur, quae ex dimidia adjectaque consistit, utrisque quadratis pariter acceptis dupla esse necesse est. 63.1325A|
Datam rectam lineam sic secare convenit, ut quod sub tota, et una porzione rectiangulum continetur, aequum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum. 63.1325B|
In hac trianguli figura, quae obtusum habet angulum, tanto amplius ea quae obtusos obtendunt angulos 63.1325C| latera possunt, quam ea quae obtusum obtinent angulum, quanto est, quod continetur bis sub uno eorum quae circa obtusum angulum sunt, in quod protractum perpendicularis cadit, atque ea quae ad obtusum angulum a perpendiculari extra deprehenditur.
Dato rectilineo aequum necesse est collocare quadratum. 63.1325D|
EX TERTIO LIBRO EUCLIDIS MEGARENSIS.
Si in circulo per centrum linea quaedam dirigatus, ac quamdam lineam rectam non in centro positam in duas aequas partes secet, per rectos eam angulos secat. Et si per rectos eam angulos secat, in duas eam aequas dividet partes. 63.1326A|
63.1326B| In aequis circulis, qui in circumferentiis aequalibus anguli consistunt, sibi invicem sunt aequales, seu ad centra sive ad circumferentias constituantur.
Datam circumferentiam in duo aequa dividere potis est. 63.1326C|
In circulo quidem angulus qui in semicirculo est, rectus existit; qui vero in majore portion est angulus, minor est recto. Qui autem in minoreportione est angulus, majorest recto, et majoris quidemportionis angulus, recto major existit, minoris vero angulus recto minor. 63.1326D|
63.1327A| Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circulum secans, linea recta ducatur, quoscunque angulos facit, duo anguli qui sunt in alternis circuli porzionibus, sunt aequales.
Ex hoc igitur manifestum est, quoniam si a puncto circuli duae lineae rectae sese contingant, et sibi invicem sint aequales, super datas rectas lineas circuli describere partes convenit.
EX QUARTO LIBRO EUCLIDIS MEGARENSIS.
Intra datum circulum datae rectae lineae, quae diametro minime major existat, aequam rectam lineam coaptare oportet. 63.1327B|
Intra datum circulum, dato triangulo aequorum angulorum, triangulum collocare convenit.
63.1327C| Circa datum circulum, dato triangulo aequalium angulorum, triangulum designandum est.
Intra datum triangulum circulum designare necesse
63.1328A| Intra datum circulum quadratum aliquod describere utile est.
63.1328B| Intra propositum quadratum circulum designare 63.1328C|
Circa datum circulum quinquangulum aequilaterum, et aequiangulum designare geometrae praecipiunt.
Intra datum circulum quinquangulum, quod est aequilaterum atque aequiangulum, designare non disconvenit. 63.1329A|
Nam omnia quaecunque sunt numerorum ratione sua costante. Et proporzionabiliter alii ex aliis constituuntur circumferentiae aequalitate moltiplicationibus suis quidem excedentes, atque alternatim partialibus 63.1329B| suis terminum faentes.
De figuris geometricis.
Supra positarum igitur speculationibus figurarum ab Euclide succincte obscureque prolatis, et a nobis verbum videlicet de verbo exprimentibus strictim translatis, quaedam iteranda repetendaque, ut animus lectoris non obscuritate deterreatur, sed a nobis potius alicujus exempli luce infusa delectetur, videntur. Sunt enim a nobis quaedam huic operi inserenda, huic arti valde necessaria, et supradictis respondentia, et lateribus convenientia, ad quae intelligenda quicunque in nostrorum arithmeticorum theorematibus instructus accesserit, expeditiori intelligentia ducitur.
Supradictum igitur est, supra datam rectam lineam 63.1329C| terminatam triangulum aequilaterum constituere oportere, sed nimis involute, qua de re hujus exempli notam subjecimus. Sit data recta linea terminata AB, oportet igitur super eam quae est AB triangulum aequilaterum constituere, et centro quidem A, spatio vero AB, circulus scribatur BCE D. Et rursus centro B, spatio autem AB, circulus scribatur ACFD, et ab eo puncto quod est G, quo se circuli dividunt, ad ea puncta quae sunt AB, adjungantur. Rectae lineae CA, C B. Quoniam igitur A punctum centrum est, BCED circuli, aequa est AB ei quae est A C. Rursus, quoniam B punctum est centrum, ACFD circuli aequa est BA ei quae est B C. Sed et AB ei quae est CA aequa esse monstrata est et A C. 63.1329D| Igitur ei quae est BC erit aequalis. Tres igitur quae sunt CA, AB, BC, quae sibi invicem sunt, aequilaterum igitur est CAB triangulum. Et constitutum est supra datam rectam lineam terminatam eam quae est AB quod oportebat facere.
63.1330A| In superioribus vero dictum est ad datum punctum datae rectae lineae aequalem rectam lineam collocare oportere. Sed hujus artis expertibus oscuro difficile. Sed nos animum lectoris quasi introducendo oblectantes hujus lateris figurae explicationem positis litterarum linearumque notulis patefacimus. Sit quidem datum punctum A, data vero recta linea BC, oportet igitur ad punctum A rectae, lineae BC aequam rectam lineam collocare; adjungatur enim ab A puncto ad B punctum recta linea ea quae est AB, et constituatur super AB rectam lineam, triangulum aequilaterum quod est DAB, et ejiciantur in rectum DA, DB, rectae lineae, ad AG et BM, et centro quidem B, spatio autem BC, circulus describatur CFE, et rursus centro quidem D, spatio autem DF, circulus describatur FK L. Quoniam igitur B punctum 63.1330B| centrum est, CFE circuli, aequa est CB ei quae est B F. Rursus quoniam D punctum centrum est, FLK circuli, aequa est DL ei quae est D F. Quarum aequa est DA ei quae est DB, aequilaterum enim triangulum est id quod est DA B. Reliqua igitur AL reliquae BF existit aequalis. Sed et BF ei quae est BC aequa esse monstrata est. Et BC ei quae est AL erit aequalis. Ad datum igitur punctum id quod est A datae rectae lineae ei quae est BC, aequa locata est ea quae est AL, quod oportebat facere ut subjecta descriptio monet. 63.1330C|
Tertio igitur loco superius ab Euclide prolatum est duabus rectis lineis in aequalibus propositis a majore minori aequam rectam lineam abscindere convenire, sed nimis strictim, et ob id confuse involuteque. Nos vero ut animus lectoris ad enodatioris intelligentiae accessum, quasi quibusdam gradibus ducatur, hujus descriptionem formule subjecimus. Sint datae duae rectae lineae.
63.1331A| Inaequales ABCD, et sit major AB, oportet igitur a majore AB minori CD aequam lineam abscindere; collocetur enim ad A punctum ei quae est CD aequa ea quae est A E. Et centro A, spatio vero AE, circulus describatur EGF, quoniam igitur A punctum centrum est EGF circuli, aequa est AE ei quae est A G. Sed et CD ei quae est AE erat aequalis, et CD ei quae est AG erit aequalis. Duabus igitur datis rectis lineis inaequalibus eis quae sunt AB, CD, a majore quae est AB, minori quae est CD, aequalis abcisa est ea quae est AG, quod oportebat facere. 63.1331B|
His etiam compendiosis, et tamen hujus artis rudibus pernecessariis Introductionibus lector initiatus, si in aliquibus superius propositis vacillando abhorreat, per se similis figurarum descriptiones sine omnis impedimenti reclamatione adinvenire potest et componere.
Sed jam opus est ad geometricalis mensae traditionem ab Archita non sordido hujus disciplinae auctore Latino accommodatam venire, si prius praemisero, quod sint genera angulorum, et linaearum, et pauca dixero de summitatibus et extremitatibus.
63.1331D| Rationabilium ergo angulorum generi sunt tria, hoc est rectum, hebes, acutum, et habens specie novem: tres rectarum linearum, tres autem rectarum et circumferentium, et tres hebetis et circumferentium.
Rectus angulus est orthigrammos, id est rectis lineis comprehensus, Latine normalis appellatus. Quotiens vero recta linea super rectam lineam stans, pares angulos fecerit, et linea perpendicularis juncta fuerit, efficiet rectiangulum triangulum.
Hebes angulus est plus normalis, hoc est rectianguli positionem excedens, quia et si triangulus secundum hanc positionem constitutus fuerit, perpendicularis extra finitimas lineas habebitur.
63.1332A| Acutus autem angulus est compressior recto, qui si a recta linea quae sedis loco fuerit rectam lineam secundum suam inclinationem emiserit, similique cohibitione rectam lineam in examplesum exceperit, efficiet triangulum qui perpendicularem intra tres lineas habebit. 63.1332B|
Linearum vero generi sunt tria, rectum, circumferens, flexuosum.
Recta linea itaque est quae aequaliter in suis signis posita est, quae aequaliter in planitie posita non concurrit. Circumferens vero linea est cujus signa ex utraque parte curvata, et a se invicem distanceia non concurrunt, quae signa si convenerint, circulus non circumferens linea debet appellari. Flexuosa autem linea est, multiformis velut arborum aut fluminum, caeterorum signorum, in quorum similitudine et arcisiniorum agrorum finitur extremitas, et multorum quae similiter in aequa linea sunt formata naturaliter.
63.1332C| Summitatum igitur generi sunt duo, summitas et plana summitas. Summitas est secundum geometricam appellationem quae longitudine latitudineque protenditur.
63.1332D| Summitatis autem fine lineae sunt.
Plana vero summitas est quae aequaliter rectis lineis undique versum finitur.
Omnium autem summitatum in vintiundo duae sunt observationes, enormis et liquis.
Enormis vero est, quae per omne latus rectis lineis continetur.
Liquis autem est quae minuendi laboris causa, et salva rectorum angulorum ratione, secundum ipsas extremitates subtenditur.
Extremitatum quippe genera sunt duo, unum quod pro rigore, et alterum quod servatur pro flexuoso. Il rigore est quidquid inter duo signa veluti in modum lineae directum prospicitur.
63.1333A| Flexuosum vero est quidquid secundum naturam locorum curvatur. Nam quod in agro a messore operis causa ad finem directum fuerit, rigor appellatur, quidquid ad horum imitationem in forma scribitur, linea appellatur.
Bini rigores sunt, quando singulis spatiis intervenientibus tendunt, ut itinera plerumque pergunt.
Nosse autem hujus artis despicientem, quid sint digiti, quid articuli, quid compositi, quid incompositi numeri, quid multiplicatores, quidve divisores, ad hujus formae speculationem, quam sumus tradituri, oportet.
Digitos vero quoscunque infra primum limitem, id est omnes quos ab unitate usque ad denariam summam 63.1333B| numeramus, veteres appellare consueverunt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Articuli autem omnes deceno in ordine positi et in infinitum progressi nuncupantur compositi, quippe numeri sunt omnes a primo limite, id est a decem usque ad secundum limitem, id est 20, caeterique sese in ordine sequentesexceptis limitibus. Incompositi autem digiti omnes annumeratis et omnibus limitibus.
Moltiplicatores igitur numeri mutua in semet replicatione volvuntur, id est interdum major minoris, interdum autem minor majoris moltiplicatore existit. Interdum vero numerus in se excrescens multiplicationis 63.1333C| aumenta il sucipit. Divisores autem majorum sempre minores constituuntur numeri.
De ratione abaci.
Priscae igitur prudentiae viri Pythagoricum dogma secuti, Platonicaeque auctoritatis investigatores speculatoresque curiosi, totum philosophiae culmen innumerorum vi constituerunt. Quis enim musicarum modulamina symphoniarum numerorum expertia censendo pernoscat? Quis ipsius firmamenti siderea corpora stellis compacta naturae numerorum ignarus deprehendat, ortusque signorum et occasus colligat?
De arithmetica vero geometrica quid attinet dicere, cum si vis numerorum pereat, nec in nominando 63.1333D| appareat, de qua quia in arithmeticis et in musicis sat dictum est, ad dicenda revertamur.
Pythagorici vero ne in multiplicationibus et partitionibus et in podismis aliquando fallerentur, ut in omnibus erant ingeniosissimi et subtilissimi, descripserunt sibi quamdam formulam quam ob honorem sui praeceptoris mensam Pythagoream nominabant, quia hoc quod depinxerant magistro praemonstrante cognoverant, a posterioribus appellabatur Abacus, ut quo d alta mente conceperant, melius si quasi videndo ostenderent in notitiam omnium transfundere possent, eamque subterius habita sat mira descriptione formabant. 63.1334A|
Superius vero digestae descriptionis formula hoc modo utebantur. Habebant enim diversae formatos apices vel characteres. Quidam enim hujuscemodi apicum notas sibi conscripserant, ut haec notula responderet unitati 1. Ista ut binario 2. Tertia vero tribus 3. Quarta autem quaternario 4. Haec autem quinque ascriberetur 5. Ista vero senario 6. Septima autem septenario conveniret 7. Haec vero octonario 8. Ista vero novenario jungerentur 9. Quidam vero in hujus formae raffigurazione ceu litteras alphabeti assumebant sibi hoc pacto, ut littera quae esset prima unitati, secunda binario, tertia ternario, caeteraeque in ordine naturali numero insignitas et inscriptas 63.1334C| tantum modo sortiti sunt. Hos etenim apices, ita varie ceu pulverem dispergere in multiplicando et in dividendo consuerunt, ut si sub unitate naturalis numeri ordinem jam dictos characteres adjungendo locarent, non alii quam digiti nascerentur. Primum autem numerum, id est binarium, unitas enim (ut in arithmeticis est dictum) numerus non est, sed fons et origo numerorum 10, inscripta ponentes 20, et ternarium 30, et quaternarium 40, caeterosque in ordine sese sequentes proprias secundum denominazioniassignare constituerunt . Sub linea vero centeno insignita numero eosdem apices ponentes binarium 200, ternarium 300, quaternarium 400. Caeterosque certis denomionibus respondere decreverunt. In sequentibus vero paginularum lineis idem 63.1334D| facientes nullo erroris nubilo obtenebrantur.
Scire autem oportet et diligenti exame discutere in multiplicando et partiendo cui paginulae digiti et cui articuli sint adjungendi. Nam singularis moltiplicatore decem digitos in decenis, articulos in centenis. Idem vero singularis moltiplicatore centum digitos in centenis, articulos in millenis. Et multiplicator milleni, digitos in millenis, et articulos in decenis millenis, et multiplicator centeni milleni, digitos in centenis millenis, articulos autem in millenis millibus habebunt. Decenus autem, suimetipsius multiplicator digitos in pagina C inscripta, articulos in millenis, et multiplicator centum, digitos in millenis, et articulos in decenis, et multiplicator milleni, 63.1335A| digitos in decenis et articulos in centenis, et moltiplicator centeni milleni, millia habebunt. Centenus vero, aeque suimetipsius multiplicator, digitos in decenis et articulos in centenis et millenis. Moltiplicans digitos in centenis et articulos in decenis centenis, et centenum millenum multiplicans digitos in decenis millenis * ῖ et articulos in centenis millenis * ῖ et decenum millenum multiplicans digitos in millenis * ῖ et articulos in decenis millenis * ῖ subtendent. Millenus itidem seipsum multiplicans, digitos in decenis et articulos in centenis.Et centeni milleni multiplicator, digitos in centenis millenis * ῖ et articulos in millenis * ῖ et decenum millenum excrescere faciens digitos in decies mille millia, et articulos in centenis millenis * ῖ habere dinoscetur? 63.1335B| Decenus autem millenus multiplicator centum milleni, digitos in millies mille millia, et articulos in decenis millenis itidem, seque ipsum adaugens, digitos in centenis millenis et articulos in mille millenis habere deprehendetur. Centenus autem millenus seipsum multiplicans, digitos in decenis millenis et articulos in centenis millenis itidem supponit.
De divisionibus rubrica.
Divisiones igitur, quantalibet jam experte lectoris animus introductus, facile valet dinoscere, breviter etenim de his et summotenus dicturi, si quae obscura intervenint, diligenti lectorum exercitio ad investiganda committimus. Si decenus per sé, vel 63.1336A| centenus per se, vel ulterioris per semetipsos dividendi proponantur, minores a majoribus quoad usque dividantur, sunt subtrahendi, singularem autem divisorem decem et centeni, aut milleni, aut ulteriorum, vel decenum divisorem se sequentum sumpta differentia eos dividere oportet. Compositus autem decenus cum singulari per secundas vel tertias. Et deinceps secundum denominazionem partium, decenum vel simplicem, vel compositum divisurus est . Centenus autem M singulis compositus, centenum vel millenum 63.1336B| hoc pacto dividere cognoscitur. Sumpto igitur uno dividendorum, quod residuum fuerit, divisori est coaequandum, et quod superabundaverit, sepositis reservandum. Singularis autem vel, ut alii volunt, munitum per coaequationem majorum est multiplicandum, et digitis quidem perfecta differentia supponenda, articularis autem imperfecta est praeponenda, et prius semoto integra adjungenda. Et haec differentia et si forte aliquis seclusus sit significavit, quod residuum fit ex dividendis. Haec vero brevi Introductione praelibantes, si qua obscure sunt dicta, ne taedio forent praetermissa, diligentis exercitio lectoris committimus, terminum hujus libri facientes, et quasi ad ulteriora sequentium nos convertentes.
LIBER SECUNDUS.
63.1335C| Superioris vero tractatu voluminis omnia geometricae artis theoremata, quamvis succincte tamen sunt dicta. Sed podismorum notitiam hic liber quasi quaestionarius et omnium podismal um quaestionum scrupolositates incunctanter absolvet enodando, veteres etenim agrimensores omnem mensurae quadraturam dimidio longiorem latioremve facere consueverunt. Et quod in latitudine longius fuerit, scamnum, et quod in longitudine longius appellare voluerunt ut subjecta docet formula.
De mensuris rubrica.
Prisci igitur podismatici cautissimi dispettori 63.1335D| duodecim mensurarum generi constituerunt, quibus cum vellent, formarum, agrorumque emetirentur aree. Quorum haec sunt nomina miliarium, stadium, actus, decempeda, quae eadem et pertica passus, gradus, cubitus, pes, semipes, palmus, uncia, digitus. Miliarium vero 5 milia pedum protensiones habere sancitum est. Stadio autem 25 pedes habere constat. Actus trifariam dividitur, in minimo, in quadratum, in duplicatum. Actus minimus quatuor tantum pedibus in latitudine, et 120 pedibus in longitudine 63.1336C| protenditur. Actus vero quadratus ex omni latere 120 pedibus concluditur. Actus autem duplicatus 240 pedes explicat; decempeda pedes decem colligit; passus 5; gradus 2 et dimid. Cubitus 1 et dimid. pedes habere dinoscitur. Pes autem palmos habet quatuor, semipes 2, palmus vero quatuor digitorum protensione completur. De unciali vero et digitali mensura melius, cum de uncialibus et notis et nominibus in sequentibus disputaverimus, dicemus. Enodatiusque cum dempnentorum minutorumque subtilitatibus promiserimus, eloquemur, nunc ad sequentis tractatus enarrationem redire nos convenit, si prius quid pes porrectus, quid contractus, quidque sit quadratus demonstraverimus.Pes autem porrectus dicitur ubi tantum pedalis mensura in longo 63.1336D| pernoscitur. Contractus autem pes ille dijudicatur, in quo longitudo latitudoque consideratur. Quadratus vero pes habetur, ubi trinae dimensionis considerio inaequalitate censetur, sed jam tempus est ad id quod instituimus accedere.
De mensura et tribus dimensionibus rubrica.
Quamvis etiam in superioris libri principio quid mensura designaremus, libet tamen specialiter hujus artis speculatoribus satisfaciendo secundum Julium 63.1337A| Frontinum geometricae artis inspectorem providissimum quid sit mensura definire.
Mensura quippe est complurium, et inter se aequalium intervallorum longitudo finita, geometricae autem artis mensuralis speculatio, trinae dimensionis, id est longitudinis, latitudinis, crassitudinis, considerazionie colligitur. Et ut enucleatius resolvatur, recto, plano solidoque dinoscitur. Rectum est quod longitudine solum mensurando censetur, ut lineae porticus, stadia milliaria, fluminum latitudines, et alia quamplura longa protensione directa, ut lineae infra describeae descriptio notat.
Planum est quod a Graecis dicitur epipedon, a 63.1337B| nobis autem contratti pedes, quod per longitudinem latitudinemque consideratur, ut agrorum planities, et aedificiorum areae absque tectoriis operibus et laquearibus ac tabulatis et his similibus, ut subjecta formula docet.
Solidum etiam est quod Graeci stereon vocant, nos autem quadratos pedes, quod et longitudinem et latitudinem crassitudinemque habere comprobatur. Ut aedificiorum, pilarum, pyramidumque, nec non etiam macerie lapidum, aliaque multa ut subjectae notant formulee.
De podismis rubrica.
Sed jam tempus est podismalium notitiam quaestionum, ut promisimus, narrando attingere, et de investiganda pedaturae speculatione protinus dicere. De trigonis vero, qui sic ut ternarius naturaliter praecedit quaternarium, ita sunt praeponendi tetragonis, et pentagonis, caeterisque imprimis dicendum esse 63.1337D| censeo.
De trigonis rubrica.
Sunt autem trigonorum generi principalia sex, isopleurum, isosceles, scalenum, orthogonium, amblygonium, oxygonium, quorum omnium in sequentibus formas et pedaturas explanabimus.
De isopleuro rubrica.
Trigonus igitur isopleurus, qui praecedentis libri pene principio aequilaterus triangulus dictus est, paria latera habere comprobatur. Ponatur ergo isopleurus in singulis habens lateribus pedes 30, hujus embadum, id est area, tali modo est investiganda. Summa etenim unius lateris per se multiplicata 900 numerum complet; ex iis si quingenta et 10 subtrahantur, 63.1338A| relinquuntur 390, tot pedes hujus trigoni isopleuri embadum colligit. Nam cathetum pedibus 26 constat protendi. Qui si per unius lateris dimidium, id est per 15, multiplicati excreverint, embadum complent; aut si unius lateris pars tertia, per ternarium, et denarium, augebitur, 300 nascentur; si vero summam lateris unius per eumdem ternarium multiplicabunt, nonaginta reddent, qui superioribus 300 juncti 390 facient, id est aream supradicti trigoni: sit autem praedictorum infra facta raffiguraio. 63.1338B|
Ne autem lector in hujusmodi Investigationibus aliquo erroris et inscitiae nubilo praepediatur. Ejusdem igitur trigoni isopleuri, id est paribus lateribus solidi manifestazioniis exemplar subjiciemus, esto age isopleurus cujus latera singula 28 pedes colligant. Quorum si unum per se augmentatum excreverit 784 63.1338C| summa consurget. Cui si unius lateris numerum aggregaveris 812 nascentur, horum suprascripta medietate aream supradicti isopleuri pernotabis, ut subjectae descriptionis formula docet.
Hujus autem jam saepe dicti trigoni, ut lateris uniuscujusque mensuram inquisitus quis investigare valeat, et dicere, apertissimum dabimus rationis experimentum. Proponatur itaque si aream 406 pedibus 63.1338D| protendi constituerit, quot pedum planitudines latus unumquodque colligere pernoscatur. Ducatur ergo suprascripta area octies, et in 3248 numerum consurgit; huic si unum addatur, fiunt 3249; hujus summae latus si sumpsero, erit quinquaginta 7. Cui si unitas subducta fuerint 56 relinquuntur. Quorum si medio adinvestigavero 28 fiunt. Tot itaque latus quodque isopleuri pedibus protenditur.
Isosceles autem, qui ab Euclide geometricae peritissimo, duo tantum latera habens aequalia, est determinatus, secundus in ordine trigonorum constituitur. Cujus si latera bina imparibus numeris, scilicet 25, protendantur, pedibus quatuordecim pedalia spatia basis habere pernotatur. Restat igitur ut quot 63.1339A| pedes arealis cathecus colligat requiramus. Si enim medietas base, hoc est 7, per se multiplicetur, 49 nascentur. Mensuram autem unius lateris, si per se, id est 25, multiplicaveris, 625 reddes, ex quibus si 49 seposueris, 576 relinquuntur. Quorum si latus acceperis, 24 erunt, tot pedibus cathecum hujus trigoni constat protendi. Area autem quot pedes habeat, sic est faciendum ut inveniatur. Medietas rursum base sumenda est, id est 7; quos 7 si per catecum, id est per 24 multipli, 168 efficies, tot pedum est supradicti trigoni area. 63.1339B|
De scaleno rubrica.
Scalenus igitur ab Euclide tria habens latera inaequalia determinatus est. Sed nos numero ejus figurae aperta dabimus exemplaria, proponatur ita scalenon trigonus, qui a Latinis cuneus appellatur, cujus minoris lateris declive 15 pedes colligat, basis autem 25 pedalia pernotetur habere lineamenta. Quot vero pedibus hujus trigoni cathecus, et embadum protendatur, restat ut quaeratur. Ducatur ergo minoris lateris summa multiplicando in se, fiunt 225. Item base si per se multiplicetur, 625 excrescunt, quibus in unum compactis 850 nascentur. Hanc igitur se 63.1339C| movendo seclusam majoris lateris summam in se multiplicari condecet, quae multiplicatio 400 numerum adducit. Quem videlicet 400 numerum si de prius seposita summa, scilicet de 850, abstuleris, 450 relinquuntur. Horum si medium sumpseris, 225 explicabis; quibus si summa basis vel 25 mataps auferatur, novenarius erit, tot pedibus hujus trigoni continetur praecisura, vel ejectura minor. Restat ut cathecus quot habeat pedes requiratur. Multiplicetur ergo minus latus per se sicut supra, 25 prodeunt. Rursus et augmentata minoris praecisurae per se summula, 81 producit; hos si aufers ex in se ducto latere, 144 supersunt. Quorum duodenarius esse dinoscitur latus, tot pedes hujus trigoni cathecus colligere perhibetur.Areae vero podismus tali modo reperitur. 63.1339D| Metiatur ergo cathecus basim vel 12, 25, 300 consurgent. Quorum medietate saepe dicti trigoni scaleni embadum podismatur, ut in subjecta figura notatur.
De ortogonio rubrica.
Quarto nimirum loco trigonius orthogonius ab Euclide inseritur, et unum rectum habens angulum consignatur, 63.1340A| inaequalia continens latera, quem nos ipso auditu difficiliorem caeteris, obscurioremque esse arbitramur. Et ideo prolixiorem in eius explicatione moram faciemus. Esto modo trigonus orthogonius, cujus cathecus pari numero insignitus, vel 8 pedibus mensuratus protenditur. Cujus si latera ignorantur, hoc modo investigari ab Archita praecipiuntur. Sumatur ergo supradicti catheci medietas, id est 4, et per se multiplicetur, et 16 excrescent. Quibus si unitas subtrahatur, 15 apparente. Tot pedum hujus trigoni basis esse cognoscitur. Praedictae autem per medietatem cathecis summae adauctae, si unum addatur, erunt pedes hypotemisae 17.Per eamdem item summam, id est per 16, embadum est inveniendum; ducatur ergo hujus summae medius per cathecum, et 64 consurgent, 63.1340B| qui areae complent supputationem, quod patenter in subjecta forma declaratur.
De eodem rubrica.
Conemur itaque hujus orthogoni apertam et ratam et per paris et imparis numeri quantitatem instituere descriptionem. Ascribatur ergo imprimis par numerus catheco, id est 6, cujus medietate in se augmentata, 9 proveniunt. Cui si secundum nostri praecepti normulam superius designatam unum auferatur, 63.1340C| octonarius erit basis hujus trigoni cujus medietas, scilicet quaternarius per cathecum multiplicata, secundum quod supradictum est, aream complet, per cathecum et basis est hypothemisae pedaturam sine ullius reclamatione inquisitus, dicere facillimum et apertum nostrae auctoritatis exemplum dabimus; multiplicetur etenim per suam quantitatem medietas hujus trigoni catheci, et summae quae ex hac multiplicatione provenerit, unitas aggregetur, erit hypothemisae pedatura; eidem autem si auferatur unum, erit base. Sitque hujus rei haec facta descriptio. 63.1340D|
Instituamus ergo hujus trigonii orthogonii per imparem numerum probabilem replyem. Adnotetur cathecus impari numero, id est 3; quem si in se duxeris, 9 explicabis, quibus unitate subducta octo supersunt, quorum medium si sumatur, basic orthogonii hujus pedatura fore comprobatur.
63.1341A| Huic vero basi vel medietati, vel 4 si unum aggregaveris hypothemisam trigoni comprobabis, embadum, ut supra dictum est, reperiatur, id est cathecus per medietatem hujus basis excrescat, ut infra cernitur pictura.
Ne autem hujus disciplinae curiosum indagatorem aliqua fallat obscuritas, de hoc eodem orthogonio iterato disputare non piget. Est enim alia inveniendi cathecum et basim et hypothemisam ratio. Ponatur ergo cathecus 5 pedibus protensus, quem si multiplices per sui quantitatem, 25 notabis, basic autem 12 habens pedes inscribatur, quae si sicut cathecus in se concreverit, 144 nascentur.
Illae summae, id est 25 et 144 copulatae 169 restituent. Horum latus 13 esse manifestum, id est hypothemisam 63.1341B| supradici trigoni. Denique si hypothemisam per se augendo duxeris, par supra copulatae quantitati, id est 169 reddes. De quibus si cathecum in se ductum subduxeris, 144 residui sunt, quorum latus id est 12, basim restituit. Ex hypothemisa vero per se multiplicata, si quis basim in se ductam, hoc est ex 169 144 subtraxerit, non plus quam 25 remanent. Horum latus, id est 5, cathecum constituit, aream autem basis medietas et cathecus commultiplicati metiuntur.
Item per cathecum basis edicere pedaturam in hoc trigono condecet. Sit modo supra cathecus 5, hic vero in se ductus 25 constituit. Huic si assem abstulero, 24 progredientur, quorum medium basim efficit. Rursus autem si base quantitati eamdem adjecero 63.1341C| unitatem, hypothemisam explicabo; si autem per cathecum base multiplicetur 60, progreditur summa. Horum medietas embadon complet.
Item de eodem rubrica.
Aliam insuper hanc vestigia gradienti normam hujus trigoni objiciendo proponere curamus, quatenus hanc caute indagantes cautissima ad id ad quod desiderant accedere, iteritatis linea absque dubio perducat; proponatur igitur ejusdem orthogonii descriptio 63.1341D| iisdem quantitatibus, quibus est circumsignata, scilicet cathecus 8, hypothemisa 17, basis autem 15 pedibus designetur. Hunc vero qua ratione per hypothemisae podismum catheci, et basis summa pedalis reperiri valeat, demonstrare studeamus: multiplicemus ergo summam hypothemisae per se, et 289 numerus redundat. Cui si quater embalidis quantitas subtrahatur, 49 relinquuntur; horum tetragonicum latus si inquisieris, 7 esse experieris; quod, scilicet 7, si copulanti catheco et basi aggreges, 30 efficies, quorum dimidium basis constituit spatium; quindecim autem si de aggregatis, id est 50, 23 abstuleris, 8 superesse cathecum sine dubio comprobabis. 63.1342A|
Idem de eodem rubrica.
Designemus iterum jam dicti orthogonii formam, et aliis numerorum quantitatibus, ut cum aliquis vel per majorem vel per minorem numerorum hujus trigoni apertam tradere disciplinam cogatur, nullo errore labatur. Esto age trigonus orthogonus, quem circumstant par unus et duo impares numeri par basi, vel 20 impar unus catheco, hoc est 15, alter vero hypothemisae, id est 25, ascribatur. Embadalis autem conclusio 63.1342B| secundum supradicti nostri praecepti regulam inquirenda est, hoc est per multiplicationem dimidiae base et totius summae catheci, continet enim areae septum 150 contractos pedes. Cathecus autem et basis tali sunt indagandi ratione: ducatur ergo hypothemisalis summa in se, et in 625 redundat; cui si quatuor adjiciantur embada, 1225 nascentur; quorum tetragonale latus, id est 35, si exceperis, summas utrasque basi et catheci comprobabis.
Scire autem oportet et investigare quo numero a se invicem cathecus et basic distent. Hic vero quis sit manifestemus. Si igitur hypothemisae in se multiplicatae quatuor, quae adjeci superius, embada subtraham, in 25 summam regreditur, horum quinta pars differentiam tenet, id est 5. Quam si rursus duabus 63.1342C| junctis summis vel 20, et 15, 40 pernotabo, horum medium complet basim.
Si autem eamdem differentiam, hoc est 5, basi auferam, cathecum constituam, ut cerni potest in subjecta figura.
De orthogonio circulo inscripto rubrica.
Num etiam quod Architae judicio in hoc eodem orthogonio approbatum est, et Euclidis diligentissima 63.1342D| perscrutatione prius est rationabiliter adinventum, operae pretium duximus non esse praetermittendum. EST ETIAM SAEPE UT DESPUTATORE A GEOMETRICA, CIRCULUS SI HOC ORTHOGONIO INSCRIDATUR, Quota PEDES Diametrus Colligat, Requisito, quod ne vitto aggregentur in unum; ex cujus summae copulatione si hypothemisae exceperis quantitatem, diametrum efficies; juncti enim 12 et 8, id est cathecus et base, 20 reddunt. Ex quibus si hypothemisam abstulero, hoc est 15, diametrum 5 obtinere constituam, quod subtus facta designat figura. 63.1343A|
De amblygonio rubrica.
Quinto in ordine triangulorum amblygonius ab Euclide insertus obtusum angulum habens dictus est, quem nos succincte aperteque explicando aggredimur. Nam si diligens lector superioris nostri documenti praeceptis et formulis instructus accesserit, minime 63.1343B| in hoc lababit. Constituatur modo amblygonius cujus base 18 numero, hypothemisae autem major 10, minor vero 9, inscribam, cathecus autem 4 summa insigniatur.
Ducatur ergo base per catheci dimidium, hoc est 18, per binarium, et 36 prodeunt, quae summa embadalis spatii planitudinem adimplet. Sed Architas in cunctis utens ratione, alio modo hujus amblygonii aream reperiri constituit, non hanc sumpta est summam in hac areae planitudine, sed minorem posse contineri existimans, astruxit enim cathecum per se et per binarium, vel per se et octonarium, duplo se superantes multiplicari oportere. Et quantitatem quae hac ex multiplicatione proveniret aream constituere, non ut 36, sed 32 in se colligeret arealis illa contemplatio. 63.1343C| Quisquis autem hujus jam dicti trigoni formas in plano designare disponat, a basis quantitate hujusmodi rem ingrediatur, tali ratione ut terminus minoris ac majoris hypothemisae copulatus, parvo vincat terminum basis, hoc est, si base 20 mensuretur pedibus, major hypothemisa 11, minor autem 10 insigniatur. Sed melius hoc quod numeris duximus ostendemus, si alicujus exempli formam subjiciemus.
De oxygonio rubrica. 63.1343D|
Restat ut dicamus de oxygonii speculatione, qui sextus in trigonorum descriptione ab Euclide non segni geometra ponitur acuti angulus determinatus. Esto igitur oxygonius, cujus minoris lateris terminus, id est minor hypothemisa 13 pedibus terminetur, major autem 15 et basic 14 mensuretur, cujus catheci et embadi summa si ignoratur, tali ratione colligetur.
Ducatur ergo lateris minoris quantitas per sé, 169 redundat; articolo di base terminus si per se excreverit, 196 nascentur; quas videlicet summas si junxeris, 365 efficies. Quo facto multiplicetur etiam terminus hypothemisalis per sé, et exsurget 225 numerus; quem si de superius copulata summa secrevero, fiunt 63.1344A| residui 140; horum medietas 70 esse pernotatur, quod per basim dispersum quinquies ipsam in se retinet. Dominationis vero hujus summam minor obtinet praecisura, quae per se adaucta 25 constituit. Hos si de minoris lateris summa per se multiplicata abstuleris, 144 supersunt, quorum tetragonale latus, quod 12 est, catheci summam explebit. Areae conclusionem hoc modo investigare curato, basis medium ducito per cathecum, id est 7 per 12, et provenient 84. Hanc summam complere areale hujus trigoni pavimentum non ignora, describatur ergo hujusmodi de hoc figura. 63.1344B|
Sed quia de trigonorum podismali consideremente in superioribus diligentium lectorum indagini explanavimus, superest ut ad tetragonorum speculationem transitum faciamus succinctum, de his habituri tractatum.
63.1344C| Quadratorum enim caeteris facilior est collectio, et prius quidem de normali tetragono tali modo ordiamur. Omnis igitur tetragonus normaliter constitutus latitudinem longitudine multiplicante arealem constituit planitudinem, et podismum sine dubio absolvit. Ponatur modo tetragonus pari numero consignatus, id est 8, quos per se latitudinem per longitudinem multiplicans, 64 efficiam, embadum videlicet subtus descripti tetragoni. 63.1344D|
Idem vero si per imparem numerum feceris, attente obstaculo eadem ratio constabit, qui normalis tetragonus ab Euclide aequilaterus atque rectiangulus nominatur, a Nicomacho autem in arithmeticis similiter appellatur.
De parte altera longiori rubrica.
Tetragonus autem parte altera longior ab Euclide quidem rectiangulum. Sed non aequilaterum definitur, a Nicomacho autem heteromeres dicitur. Cujus quidem longitudo latitudinem multiplicans embadalis summae pedaturam, sive sint pares seu impares termini, demonstrat, sit modo parte altera longior tetragonus, 63.1345A| cujus longitudo pedes 8, latitudo autem 4, vel longitudo 9, latitudo autem 6, vel 5, vel 4, colligat.
Multiplicet ergo latitudo longitudinem, id est 4 8, 32 nascentur, hoc est, area parte altera longioris tetragoni provenient, quae hae figurarum deformationes pari numero atque impari designatae. 63.1345B|
De rombo rubrica.
His vero jam dictis parallelogrammis adjiciendos rhombos et rhomboides tetragonos arbitramur, quamvis enim aut angulariter aut lateraliter a supradictis parallelogrammis dissideant, tamen his sunt adnumerandi. Esto age rhombus quadrilaterus, singulis lateribus decenae pedaturae summa conscriptus, diagoni autem, hoc est angularis lineae directio bis sena numeretur quantitate, cujus 6, si per se augmentabitur, 36 exsurgent; quos si ex basis termino per se multiplicato subtraxeris, 64 remanet. Horum tetragonale latus, id est 8, hujus rhombi cathecum constituit. 63.1345C| Diagonus autem per cathecum ductus embadalis summae spatium ostendit. Hic autem ab Euclide aequa habens latera, sed non angulos aequos nec rectos definitur. Sit vero de hoc hujus formae professio. 63.1345D|
De rombo rubrica.
Euclides vero nec angulos aequos neque latera aequa habens rhomboides determinando proposuit, quem nos quoque patentiori aditu formando numerosque ascribendo reserabimus. Esto età rhomboides cujus unum latus 8 pedes, secundum autem quatuor, tertium vero 6, quartum vero 2; harum vero summarum 63.1346A| maximos terminos longitudinem obtinentes si conjungas, 14 efficies, quorum medietatem septenarius constituit. Minores autem summulae in unum redactae senarium quantitatem perficiunt, cujus medium ternarius adimplet, quae videlicet medietate, 7 et 3, si per se multiplicabuntur, in 21 consurgent, id est pedes areales tetragoni hujus, ut infra apparet. 63.1346B|
Il suo etenim adjiciendum fore trapezium orthogonium non incongruum ducimus, dupla et sesquialtera numerorum proportione lateraliter consignatum. Ascribatur vertici summa quindenaria, catheco autem tricenaria, duplo etiam interactens, basi vero ad hanc sesquialteram servans habitudinem terminus contradatur, per has ergo summas area hujus trapezii tali ratione constituenda est. Adjungatur vero vertex basi, id est 15, 45 et 60, terminus exuberat . Cujus pars dimidia si per cathecum multiplicabitur, areae pandit protensionem ut in medio scripta patet figura. 63.1346C|
De diagono adinveniendo rubrica.
Saepe autem evenire solet, ut in hujus artis speculatione, quot angularis lineae protensio, horum scilicet tetragonorum pedes obtineat, requiratur. Quod ne ignoretur, facillimum apertissimumque hujusce rationis dabimus exemplar. Ponatur etiam parallelogrammus 60, orthogonius in longitudine 80, et in altitudine habens pedes 60, longitudo vero per se augmentata sexies 400 explicat, latitudo autem per 63.1346D| se multiplicata ter 600 efficit, quae videlicet sexies 400, et ter 600, in unum summae redactae 10 restituunt, horum scilicet 10 tetragonale latus si sumpsero, 100 pernotabo, hoc est diagonum hujus parallelogrammi orthogonii, ut infra scripta perspici potest forma.
De multiangulis figuris rubrica. 63.1347A|
Sed quia sufficienzar breviterque de tetragonorum diximus rationibus, restat ut de pentagonis et hexagonis caeterisque disseramus. Omnis itaque pentagonus aequis habitis lateribus unius in se summa excrescente, ac ter ducta, rursusque eadem subducta, medietateque hujus summae sumpta embadalis spatii pandit superficiem. Esto modo pentagonus singulis habens lateribus pedes senos; quos videlicet 6 si per se duxero, 36 restituam; hos ter ductos in 108 numerum perstringam; cui si abstulero lateris unius summam, id est senarium, 102 explicabo; quorum dimidium si accepero, aream infra descripti pentagoni adimplebo. 63.1347B|
De hexagono rubrica.
Hexagonus autem ordine in lateri dicendus 63.1347C| inferatur, describatur, etenim hexagonus 8 lateraliter insignitus, quem videlicet octonarium per se multiplicans 64 efficiam; haec summa, scilicet 64 quaterducta, in 256 redundat; his videlicet 256 si lateris unius quantitas, id est 8 bis ducta, adjiciatur, 272 apparent. Quorum medium si sumpseris, aream hujus hexagoni explicabis. 63.1347D|
De heptagono rubrica.
Post haec ut expediamus de heptagoni lateris ratione oportet, qui videlicet heptagonus tertio hic inseritur loco septenarius, quemadmodum in imparium numerorum tertius naturaliter ordine apparet collocetur, etenim heptagonus senaria quantitate circumscriptus, cui si lateris unius summam per se multiplicaveris, 36 pernotabis, quae scilicet quantitas , 63.1348A| hoc est 36, quinquies ducta, 180 adesse conducit. Quibus si senariae quantitatis summam ter ductam subduxeris, 162 relinquuntur, horum medietas sumpta 81 pede embadum hujus heptagoni habere conducit. 63.1348B|
De ottogono rubrica.
Octogonus vero in naturali parium numerorum ordine quartus constitutus, in hoc disserendus loco naturaliter quartus assumatur. Esto età octogonus 7, per singula latera pedibus mensuratus. Hanc nimirum naturalem quantitatem, id est 8, in se si duxeris, 64 efficies; quos si per 6 multiplicaris, 384 explicabis. Ex his si quater lateris unius summam 63.1348C| deduxeris, non amplius quam 352 residui sunt. Quorum medietas si excipitur, area hujus: octogonii pernotatur 63.1348D|
De hennagono rubrica.
Hennagonus autem singula per latera 6 circumscribatur, quem videlicet senarium, si secundum superius dictam nostraestitutionis regulam per si multiplicaveris, 36 efficies; qui septies ducti, 109 summam producent. His si lateris unius quantitatem quinquies subtraxeris, 79 reddes; horum medietas exceptiona si fuerit, hujus hennagoni embadum 38 semispedibus contineri manifestat. 63.1349A|
De decagono rubrica. 63.1349B|
Restat ut de decagoni embadali dicamus podismo, describatur itaque decagonus denario numero lateraliter limitatus. Cujus si lateris unius quantitas secundum jam saepe dictam nostrae praeceptionisstitutionem se multiplicando excreverit, 100 efficiet. Hii vero octies ducti, 800 adducunt. Horum vero medium si sumpseris, aream hujus decagoni 370 pedibus contineri absque dubio pernotabis. 63.1349C|
Idem vero de hendecagono caeterisque plurilateris figurarum descriptionibus si feceris, nullius erroris 63.1349D| obstaculo lababis, hoc pacto ut in naturali ordine in multiplicanda unius lateris summa, et in hac quantitate quae ex hac laterali multiplicatione nascitur, naturaliter augmentanda, eademque laterali naturaliter subducenda procedas, embadumque tali ratione ex medietatibus scilicet adinvenias.
De circolo rubrica.
Sed quia de angularibus figuris studioso lectori sufficienter disputavimus, restat ut breviter de circumductione sphaerae vel circuli explicemus. Ponatur circculus itaque 44 pedibus in circumductione designatus, diametrus autem 14 pedum protensionibus describatur. Cujus summa si per se excreverit 196 nascentur; 63.1350A| hos per 11 multiplicans 2156 efficies, quorum quarta decima pars, id est 154, aream hujus cycli pandit, ut infra potest cerni. Est alia hujus cycli inveniendi embadalis spatii ratio: sumatur etenim circumductivae quantitatis medietas, vel 22 quae est medietas, et per medietatem diametri, id est per 7, multiplicetur, et quod ex hac multiplicatione provenerit, embadum pandit. 63.1350B|
De emiciclo rubrica.
Il suo vero brevibus initiamentis de circularibus theorematibus dicendum esse censuimus, de hemicyclo protinus dicturi. Conscribatur età hemicyclus 63.1350C| 28 in basi, et in semidiametro 14 pedes habeas, cujus si areae podismus ignoretur, tali ratione adinvestigetur. Multiplicetur ergo summa base per semidiametri summam, et in 392 pervenitur, et hoc summa in decies 4211 producit, quorum sumpta quarta decima parte, id est 312, arealis completur superficies, ut propter apparet.
Haec de epipedarum podismationibus figurarum ad 63.1350D| praesens dicta sufficiant, restat ut de montuosa succinctius aliquid ratione tractemus. Inscribatur etiam mons in verticis circuitu 300 pedibus podismatus, a pede autem usque in summitatem 800 pedibus protentus, pes vero montis ejusdem in circuitu pedibus millenis consignetur. Proponatur modo inquisitum quot jugera in hoc monte habeantur. Quod tali cum ratione ordiendum jungantur, etenim pedis et cacuminis duo illi circuitus, id est 1300; quorum per medium si ascensus, hoc est 800, per 650 multiplicabitur, 520 pedes habere montis hujus spatium comprobabitur. Hanc igitur summam si in 28, 800 disperseris, 18 in hoc esse monte comprobabis, restantibus tantum millenis et sexcentis pedibus. 63.1351A|
Si autem mons in pedis circuitu 2500 et medietatis circuitione 1600, in cacuminis autem circumductione centum, et in ascensu 500 pedes habens, fuerit. Hoc 63.1351B| pacto jugera sunt adinvenienda: jungantur trium supradictorum circuituum summae, et 4200 nascuntur; quorum tertia parte, id est 1400, montis ascensionem, hoc est 500, multiplicante, 700 prodeunt; quos per jugera dispartiens, 24 efficies, non plus quam ducentis pedibus residuis.
63.1351C| Mons autem strabus, id est inaequalis, si fuerit in pedis circumferentia 1400, et in verticis declivo 200, et in dexterae partis ascensione 850, in levi lateris autem sospettau 750 pedes habens, jugeralis vero sita planitudo hoc modo est indaganda. Sumatur etenim duarum medietas circumferentiarum in unum collectarum, id est 800, et ascensuum compositorum pars media, hoc est 800, et hae medietates per se multiplicatae 640 producunt, podismum scilicet montis supradicti. Ex peditura autem jugeralem facile summam secundum quod dictum est supra invenies. 63.1351D|
Quia igitur de omnium huic arti inserendarum speculationum rationibus breviter enodateque sat disseruimus, reliquum est ut de unciali et digitali mensura, et de punctorum et minutorum caeterisque minutiis, sicut promisimus, dicamus, mirabilem et arti huic, caeterisque matheseis disciplinis necessariam figuram, quam Archita praemonstrante didicimus, editori.
De minutiis rubrica. 63.1352A|
Veteres igitur geometricae, indagatores subtilissimi, maximeque Pythagorici, cum omnia certis mensurarum dividentes rationibus, ad ea quae natura renueret dividi et secari, usque pervenirent, ingenio praesignante ea quae naturaliter erant indivisibilia, positis notis nominibus aeque datis dispartiere. Cujus vero agros per actus, per perticas, id est per radios, per passus, per gradus, per cubitos, per pedes, per semipedes, et per palmos dispersissent, non habentes palmum per quod dividerent id quod palmo esse minus, digito autem majus, unciam vocare maluerunt, in secundo vero loco digitum subscripserunt, in tertio staterem, id est semiunciam, in quarto quadrantem, in quinto dracma, in sexto scrupulum, 63.1352B| in septimo obolum, in octavo semiobolum, quem Graeci ceratem nuncupant, in nono siliquam, in 10 punctum, in 11 minutum, in 12 momentum nominando posuerunt. His ergo minutiis adinventis, nominibusque editis, multiformes eis notas indidere, quae quia partim Graece, partim erant barbare, nobis non videbantur latine orationi adjungendae. Quapropter nos rem obscuram obscuris ignotisque notarum signis coinvolgere nolentes, loco earumdem notarum Latinorum elementorum notas ordine ponimus, ita ut A unciae respondeat, B digito, C staterae, D quadranti, E drachmae, F scrupolo, G obulo, H semiobulo, I siliquae, K puncto, L minuto, M momento acribatur. Describatur itaque his litteris, quam diximus figuram unciarum, hoc modo. 63.1352C|