Disquisitiones arithmeticae/Sectio tertia

by Carolus Fridericus Gauss

Carolus Fridericus Gauss

Disquisitiones arithmeticae

Sectio tertia

1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide

SECTIO TERTIA

DE

RESIDUIS POTESTATUM.

---

Residua terminorum progressionis geometricae ab unitate incipientis constituunt seriem periodicam. 45.

Theorema. In omni progressione geometrica $1,a,aa,a^{3}\!$ etc. praeter primum $1$, alius adhuc datur terminus $a^{t}\!$, secundum modulum $p$ ad $a$ primum unitati congruus, cuius eocponens $t<p$.

Demonstr. Quoniam modulus $p$ ad $a$, adeoque ad quamvis ipsius $a$ potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit $\textstyle \equiv 0{\pmod {p}}$, sed quivis alicui ex his numeris $1,2,3\ldots p-1$ congruus. Quorum multitudo quum sit $p-1$, manifestum est, si plures quam $p-1$ progressionis termini considerentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos $1,a,aa,a^{3}\ldots a^{p-1}\!$ bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque $a^{m}\equiv a^{n}\!$ et $m>n$, fietque dividendo per $a^{n},a^{m-n}\equiv 1$ (art. 22), ubi $m-n<p$, et $>0$. Q. E. D.

Ex. In progressione $2,4,8$ etc. terminus primus, qui secundum modulum $13$ unitati est congruus, invenitur $2^{12}=4096$. At secundum modulum $23$ in eadem progressione fit $2^{11}=2048\equiv 1$. Similiter numeri $5$ potestas sexta, $15625$, unitati congrua secundum modulum $7$, quinta vero, $3125$, secundum $11$. In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam $p-1$ unitati congrua evadit, in aliis contra usque ad potestatem $p-1$^tum ascendere necesse est.

46.

Quando progressio ultra terminum, qui unitati est congruus, continuatur, eadem, quae ab initio habebantur, residua prodeunt iterum. Scilicet si $a^{t}\equiv 1$, erit $a^{t+1}\equiv a$, $a^{t+2}\equiv aa$ etc., donec ad terminum $a^{2t}\!$ perveniatur, cuius residuum minimum iterum erit $\equiv 1$, atque residuorum periodum denuo inchoat. Habetur itaque periodus $t$ residua comprehendens, quae simulac finita est ab initio semper repetitur; neque alia residua quam quae in hac periodo continentur, in tota progressione occurrere possunt. Generaliter erit $a^{mt}\equiv 1$, et $a^{mt+n}\equiv a^{n}\!$, id quod per designationem nostram ita exhibetur:

Si $\textstyle r\equiv \rho {\pmod {t}}$, erit $\textstyle a^{r}\equiv a^{\rho }{\pmod {t}}$.

47.

Petitur ex hoc theoremate compendium potestatum quantumvis magno exponente affectarum residua expedite inveniendi, simulac potestas unitati congrua innotescat. Si ex. gr. residuum e divisione potestatis $3^{1000}\!$ per $13$ oriundum quaeritur, erit propter $\textstyle 3^{3}\equiv 1{\pmod {13}}$, $t\equiv 3$; quare quum sit $\textstyle 1000\equiv 1{\pmod {3}}$, erit $\textstyle 3^{1000}\equiv 3{\pmod {13}}$.

48.

Quando $a^{t}\!$ est infima potestas unitati congrua (praeter $a^{0}=1$, ad quem casum hic non respicimus), illi $t$ termini, residuorum periodum constituentes omnes erunt diversi, uti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspicitur. Tum autem propositio art. 46 converti potest; scilicet si $\textstyle a^{m}\equiv a^{n}\!{\pmod {p}}$, erit $\textstyle m\equiv n{\pmod {t}}$. Si enim $m$, $n$ secundum modulum $t$ incongrui essent, residua eorum minima $\mu$, $\nu$ diversa forent. At $a^{\mu }\equiv a^{m}\!$, $a^{\nu }\equiv a^{n}\!$, quare $a^{\mu }\equiv a^{\nu }\!$ i. e. non omnes potestates infra $a^{t}\!$ incongruae forent contra hypoth.

Si itaque $\textstyle a^{k}\equiv 1{\pmod {p}}$, erit $\textstyle k\equiv 0{\pmod {t}}$ i. e. $k$ per $t$ divisibilis.

Hactenus de modulis quibuscunque si modo ad $a$ sint primi diximus. Iam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus atque huic fundamento investigationem generaliorem postea superstruamus.

Considerantur primo moduli qui sunt numeri primi.

49.

Theorema. Si $p$ est numerus primus ipsum $a$ non metiens, atque $a^{t}\!$ infima ipsius $a$ potestas secundum modulum $p$ unitati congrua, exponens $t$ aut erit $=p-1$ aut pars aliquota huius numeri.

Conferantur exempla art. 45.

Demonstr. Quum iam ostensum sit, $t$ esse aut $=p-1$, aut $<p-1$, superest, ut in posteriori casu $t$ semper ipsius $p-1$ partem aliquotam esse evincatur.

I. Colligantur residua minima positiva omnium horum terminorum $1,a,aa\ldots a^{t-1}\!$, quae per $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. designentur, ita ut sit $\alpha =1$, $\alpha '\equiv a$, $\alpha ''\equiv aa$ etc. Perspicuum est, haec omnia fore diversa, si enim duo termini $a^{m}\!$, $a^{n}\!$ eadem praeberent, foret (supponendo $m>n$) $a^{m-n}\equiv 1$ atque $m-n<t$, Q. E. A. quum nulla inferior potestas quam $a^{t}\!$ unitati sit congrua (hyp.). Porro omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. in serie numerorum $1,2,3...p-1$ continentur, quam tamen non exhaurient, quum $t<p-1$. Complexum omnium $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. per $(A)$ designabimus. Comprehendet igitur $(A)$ terminos $t$.

II. Accipiatur numerus quicunque $\beta$ ex his $1,2,3\ldots p-1$, qui in $(A)$ desit. Multiplicetur $\beta$ per omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc., sintque residua minima inde oriunda $\beta ,\beta ',\beta ''\!$ etc., quorum numerus etiam erit $t$. At haec residua tum inter se quam ab omnibus $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. erunt diversa. Si enim prior assertio falsa esset, haberetur $\beta a^{m}\equiv \beta a^{n}\!$ adeoque dividendo per $\beta$, $a^{m}\equiv a^{n}\!$, contra ea quae modo demonstravimus; si vero posterior, haberetur $\beta a^{m}\equiv a^{n}\!$, unde, quando $m<n$, $\beta \equiv a^{m-n}\!$ i. e. $\beta$ alicui ex his $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. congruus contra hyp.; quando vero $m>n$, sequitur multiplicando per $a^{t-m}\!$, $\beta a^{t}\equiv a^{t+n-m}\!$, sive propter $a^{t}\equiv 1$, $\beta \equiv a^{t+n-m}\!$, quae est eadem absurditas. Designetur complexus omnium $\beta ,\beta ',\beta ''\!$ etc., quorum multitudo $=t$, per $(B)$, habebunturque iam $2t$ numeri ex his $1,2,3\ldots p-1$. Quodsi igitur $(A)$ et $(B)$ omnes hos numeros complectuntur, fit $\textstyle {\tfrac {p-1}{2}}=t$ adeoque theorema demonstratum.

III. Si vero aliqui adhuc deficiunt, sit horum aliquis $\gamma$. Per hunc multiplicentur omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc., productorumque residua minima sint $\gamma ,\gamma ',\gamma ''\!$ etc., omnium complexus per $(C)$ designetur. $(C)$ igitur comprehendet $t$ numeros ex his $1,2,3\ldots p-1$, qui omnes tum inter se quam a numeris in $(A)$ et $(B)$ contentis erunt diversi. Assertiones priores eodem modo demonstrantur ut in II, tertia ita. Si esset $\gamma a^{m}\equiv \beta a^{n}\!$, fieret $\gamma \equiv \beta a^{n-m}\!$, aut $\equiv \beta a^{t+n-m}\!$ prout $m<n$ aut $>n$, in utroque casu $\gamma$ alicui ex $(B)$ congrua contra hyp. Habentur igitur $3t$ numeri ex his $1,2,3\ldots p-1$, atque si nulli amplius desunt, fiet $\textstyle t={\tfrac {p-1}{3}}$, adeoque theorema erit demonstratura.

IV. Si vero etiamnum aliqui desunt, eodem modo ad quartum numerorum complexum $(D)$ progrediendum erit etc. Patet vero, quoniam numerorum $1,2,3\ldots p-1$ multitudo est finita, tandem eam exhaustum iri, adeoque multiplum ipsius $t$ fore: quare $t$ erit pars aliquota numeri $p-1$. Q. E. D.

Fermatii Theorema.

50.

Quum igitur ${\tfrac {p-1}{t}}$ sit integer, sequitur evehendo utramque partem congruentiae $a^{t}\equiv 1$ ad potestatem exponentis ${\tfrac {p-1}{t}}$, $a^{p-1}\equiv 1$, sive $a^{p-1}-1$ semper per $p$ divisibilis est, quando $p$ est primus ipsum $a$ non metiens.

Theorema hoc, quod tum propter elegantiam tum propter eximiam utilitatem omni attentione dignum, ab inventore theorema Fermatianum appellari solet. Vid. Fermatii Opera Mathem. Tolosae 1679 fol. p. 163. Demonstrationem inventor non adiecit, quam tamen in potestate sua esse professus est. Ill. Euler primus demonstrationem publici iuris fecit, in diss. cui titulus Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio, Comm. Acad. Petrop. T. VIII^[1]. Innititur ista evolutioni potestatis $(a+1)^{p}\!$, ubi ex coëfficientium forma facillime deducitur, $(a+1)^{p}-a^{p}-1$ semper per $p$ fore divisibilem, adeoque $(a+1)^{p}-(a+1)$ per $p$ divisibilem fore, quando $a^{p}-a$ per $p$ sit divisibilis. Iam quia $1^{p}-1$ semper per $p$ divisibilis est, etiam $2^{p}-2$ semper erit; hinc etiam $3^{p}-3$ etc. generaliterque $a^{p}-a$. Quodsi itaque $p$ ipsum $a$ non metitur, etiam $a^{p-1}-1$ per $p$ divisibilis erit. Haec sufficient ad methodi indolem declarandam. Clar. Lambert similem demonstrationem tradidit in Actis Erudit. 1769 p. 109. Quia vero evolutio potestatis binomii a theoria numerorum satis aliena esse videbatur, aliam demonstrationem ill. Euler investigavit, quae exstat Comment. nov. Petr. T. VII p. 70, atque cum ea quam nos art. praec. exposuimus prorsus convenit. In sequentibus adhuc aliae quaedam se nobis offerent. Hoc loco unam superaddere liceat, quae similibus principiis innititur, uti prima ill. Euleri. Propositio sequens, cuius casus tantum particularis est theorema nostrum, etiam ad alias investigationes infra adhibebitur.

51.

Polynomii $a+b+c+etc.$ potestas $p$^ta secundum modulum $p$ est $\textstyle \equiv a^{p}+b^{p}+c^{p}+etc.$ siquidem $p$ est numerus primus.

Demonstr. Constat potestatem $p$^tam polynomii $a+b+c+$ etc. esse compositam e partibus formae $\kappa a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\$ etc., ubi $\alpha +\beta +\gamma \$etc.$=p$, et $\kappa$ designat, quot modis $p$ res, quarum $\alpha ,\beta ,\gamma \$etc. respective sunt $=a,b,c\$etc., permutari possint. At supra art. 41 ostendimus, hunc numerum semper esse per $p$ divisibilem, nisi omnes res sint aequales, i. e. nisi aliquis numerorum $\alpha ,\beta ,\gamma \$etc. sit $=p$, reliqui vero $=0$. Unde sequitur, omnes ipsius $(a+b+c+$etc.$)^{p}\!$ partes, praeter has $a^{p},b^{p},c^{p}\$etc., per $p$ divisibiles esse; quae igitur, quando de congruentia secundum modulum $p$ agitur, tuto omitti poterunt, fietque $\textstyle (a+b+c+\mathrm {etc.} )^{p}\equiv a^{p}+b^{p}+c^{p}+\mathrm {etc.} \$Q. E. D.

Quodsi iam omnes quantitates $a,b,c\$etc.$=1$ ponuntur, numerusque earum $=k$ fiet $k^{p}\equiv k$, uti in art. praec.

Quot numeris respondeant periodi, in quibus terminorum multitudo est divisor datus numeri $p-1$.

52.

Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt divisores ipsius $p-1$, nequeunt esse exponentes potestatum infimarum, ad quas evecti numeri aliqui unitati congrui fiunt, quaestio sese offert, num omnes ipsius $p-1$ divisores ad hoc sint idonei, atque, quando omnes numeri per $p$ non divisibiles secundum exponentem infimae suae potestatis unitati congruae classificentur, quot ad singulos exponentes sint perventuri. Ubi statim observare convenit, sufficere, si omnes numeri positivi ab $1$ usque ad $p-1$ considerentur; manifestum enim est, numeros congruos ad eandem potestatem elevari debere, quo unitati fiant congruae, adeoque numerum quemcunque ad eundem exponentem esse referendum, ad quem residuum suum minimum positivum. Quocirca in id nobis erit incumbendum, ut quomodo hoc respectu numeri $1,2,3\ldots p-1$ inter singulos factores numeri $p-1$ distribuendi sint, eruamus. Brevitatis gratia, si $d$ est unus e divisoribus numeri $p-1$ (ad quos etiam $1$ et $p-1$ referendi), per $\psi d$ designabimus multitudinem numerorum positivorum ipso $p$ minorum, quorum potestas $d^{\mathrm {ta} }\!$ est infima unitati congrua.

53.

Quo facilius haec disquisitio intelligi possit, exemplum apponimus. Pro $p=19$ distribuentur numeri $1,2,3\ldots 18$ inter divisores numeri $18$ hoc modo:

${\begin{array}{r|rrrrrr}1&1\,\\2&18\,\\3&7,&11\,\\6&8,&12\,\\9&4,&5,&6,&9,&16,&17\\18&2,&3,&10,&13,&14,&15\\\end{array}}$

In hoc igitur casu fit $\psi 1=1$, $\psi 2=1$, $\psi 3=2$, $\psi 6=2$, $\psi 9=6$, $\psi 18=6$. Ubi exigua attentio docet, totidem ad quemvis exponentem pertinere, quot dentur numeri hoc non maiores ad ipsumque primi, sive esse in hoc certe casu, retento signo art. 39 $\psi d=\varphi d$. Hanc autem observationem generaliter veram esse ita demonstramus.

I. Si numerus aliquis habetur, $a$, ad exponentem $d$ pertinens (i. e. cuius potestas $d^{\mathrm {ta} }\!$ unitati congrua, omnes inferiores incongruae), omnes huius potestates $aa,a^{3},a^{4}\ldots a^{d}\!$ sive ipsarum residua minima proprietatem priorem etiam possidebunt (ut potestas ipsarum $d^{\mathrm {ta} }\!$ unitati sit congrua) et quum hoc ita etiam exprimi possit, residua minima numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ (quae omnia sunt diversa) esse radices congruentiae $x^{d}\equiv 1$, haec autem plures quam $d$ radices diversas habere nequeat, manifestum est, praeter numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ residua minima alios numeros inter $1$ et $p-1$ incl. non dari, quorum potestas exponentis $d$ congruae sint unitati. Hinc patet, omnes numeros ad exponentem $d$ pertinentes inter residua minima numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ reperiri. Quales vero sint, quantaque eorum multitudo, ita definitur. Si $k$ est numerus ad $d$ primus, omnes potestates ipsius $a^{k}\!$, quarum exponentes $<d$ , unitati non erunt congrui: esto enim $\textstyle {\scriptstyle {\frac {1}{k}}}{\pmod {d}}\equiv m$ (vid. art. 31) eritque $a^{km}\equiv a$; quare si potestas $e^{\mathrm {ta} }\!$ ipsius $a^{k}\!$ unitati esset congrua atque $e<d$, foret etiam $a^{kme}\equiv 1$ et hinc $a^{e}\equiv 1$ contra hyp. Hinc manifestum est, residuum minimum ipsius $a^{k}\!$ ad exponentem $d$ pertinere. Si vero $k$ divisorem aliquem, $\delta$, cum $d$ communem habet, ipsius $a^{k}$ residuum minimum ad exponentem $d$ non pertinet; quoniam tum potestas $\textstyle {\frac {d^{\mathrm {ta} }}{\delta }}$ iam unitati fit congrua (erit enim $\textstyle {\frac {kd}{\delta }}$ per $d$ divisibilis, sive $\textstyle \equiv 0{\pmod {d}}$ adeoque $\textstyle {\frac {kd}{\delta }}\equiv 1$). Hinc colligitur, totidem numeros ad exponentem $d$ pertinere, quot numerorum $1,2,3\ldots d$ ad $d$ sint primi. At memorem esse oportet, hanc conclusionem innixam esse suppositioni, unum numerum $a$ iam haberi ad exponentem $d$ pertinentem. Quamobrem dubium remanet, fierine possit ut ad aliquem exponentem nullus omnino numerus pertineat; conclusioque eo limitatur, ut $\psi d$ sit vel $=0$ vel $=\varphi d$.

54.

II. Iam sint omnes divisores numeri $p-1$ hi: $d,d',d''$ etc. eritque, quia omnes numeri $1,2,3\ldots p-1$ inter hos sunt distributi, $\textstyle \psi d+\psi d'+\psi d''+\mathrm {etc.} =p-1$ At in art. 40 demonstravimus esse $\textstyle \varphi d+\varphi d'+\varphi d''+\mathrm {etc.} =p-1$ atque ex art. praec. sequitur, $\psi d$ ipsi $\varphi d$ aut aequalem aut ipso minorem esse, maiorem esse non posse, similiterque de $\psi d'$ et $\varphi d'$, etc. Si itaque aliquis terminus ex his $\psi d,\psi d',\psi d''$ etc. termino respondente ex his $\varphi d,\varphi d',\varphi d''$, esset minor (sive etiam plures), illorum summa summae herum aequalis esse non posset. Unde tandem concludimus, $\psi d$ ipsi $\varphi d$ semper esse aequalem, adeoque a magnitudine ipsius $p-1$ non pendere.

55.

Maximam autem attentionem meretur casus particularis propositionis praecedentis, scilicet semper dari numeros, quorum nulla potestas inferior quam $p-1$^ta unitati congrua, et quidem totidem inter $1$ et $p-1$, quot infra $p-1$ sint numeri ad $p-1$ primi. Cuius theorematis demonstratio quum minime tam obvia sit quam primo aspectu videri possit, propter theorematis dignitatem liceat aliam adhuc adiicere a praecedente aliquantum diversam, quandoquidem methodorum diversitas ad res obscuriores illustrandas plurimum conferre solet. Resolvatur $p-1$ in factores suos primos fiatque $p-1=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc., designantibus $a,b,c$ etc. numeros primos inaequales. Tum theorematis demonstrationem per sequentia absolvemus:

I. Semper inveniri posse numerum $A$ (aut plures) ad exponentem $a^{\alpha }$ pertinentem, similiterque numeros $B,C$ etc. ad exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc. respective pertinentes.

II. Productum ex omnibus numeris $A,B,C$ etc. (sive huius producti residuum minimum) ad exponentem $p-1$ pertinere. Haec autem ita demonstramus.

I. Sit g numerus aliquis ex his $1,2,3\ldots p-1$, congruentiae $\textstyle x^{\frac {p-1}{a}}\equiv 1{\pmod {p}}$ non satisfaciens, omnes enim hi numeri congruentiae huic, cuius gradus $<p-1$, satisfacere nequeunt. Tum dico si potestas $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha }}}$^ta ipsius $g$ ponatur $\equiv h$, hunc numerum, sive eius residuum minimum ad exponentem $a^{\alpha }\!$ pertinere.

Namque patet potestatem $a^{\alpha }$^tam ipsius $h$ congruam fore potestati $p-1$^tae ipsius $g$ i. e. unitati, potestas vero $a^{\alpha -1}$^ta ipsius $h$ congrua erit potestati $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tae ipsius $g$, i. e. unitati erit incongrua, multoque minus potestates $a^{\alpha -2},a^{\alpha -3}$^tae etc. ipsius $h$ unitati congruae esse possunt. At exponens infimae potestatis ipsius $h$ unitati congruae, sive exponens ad quam pertinet $h$, numerum $a^{\alpha }\!$ metiri debet (art. 48). Quare quum $a^{\alpha }\!$ per alios numeros divisibilis non sit quam per se ipsum, atque per inferiores ipsius $a$ potestates, necessario $a^{\alpha }\!$ erit exponens ad quem $h$ pertinet. Q. E. D. Per similem methodum demonstratur, dari numeros ad exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc. pertinentes.

II. Si supponimus, productum ex omnibus $A,B,C$ etc. non ad exponentem $p-1$, sed ad minorem $t$ pertinere, $t$ ipsum $p-1$ metietur (art. 48), sive erit $\textstyle {\frac {p-1}{t}}$ integer unitate maior. Facile autem perspicitur, hunc quotientem vel esse unum e numeris primis $a,b,c$ etc. vel saltem per aliquem eorum divisibilem (art. 17), ex. gr. per $a$, de reliquis enim simile est ratiocinium. Metietur itaque $t$ ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$; quare productum $ABC$ etc. etiam ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tam elevatum unitati erit congriium (art. 46). Sed perspicuum est singulos $B,C$ etc. (exemto ipso $A$) ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tam elevatos unitati congruos fieri, quum exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc., ad quos singuli pertinent, ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$ metiantur. Hinc erit $A^{\frac {p-1}{a}}B^{\frac {p-1}{a}}C^{\frac {p-1}{a}}\mathrm {etc.} \equiv A^{\frac {p-1}{a}}\equiv 1$ Unde sequitur exponentem, ad quem $A$ pertinet, ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$ metiri debere (art. 48), i. e. $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha +1}}}$ esse integrum; at $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha +1}}}=\textstyle {\frac {b^{\beta }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }{a}}$ integer esse nequit (art. 15). Unde tandem concludere oportet, suppositionem nostram consistere non posse, i. e. productum $ABC$ etc. revera ad exponentem $p-1$ pertinere. Q. E. D.

Demonstratio posterior priori aliquantulum prolixior esse videtur, prior contra posteriori minus directa.

56.

Hoc theorema insigne exemplum suppeditat, quanta circumspectione in theoria numerorum saepenumero opus sit, ne, quae non sunt, pro certi assumamus. Celeb. Lambert in diss. iam supra laudata Acta Erudit. 1769 p. 127 huius propositionis mentionem facit, sed demonstrationis ne necessitatem quidem attigit. Nemo vero demonstrationem tentavit praeter summum Eulerum, Comment. nov. Ac. Petrop. T. XVIII ad annum 1773, Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia p. 85 seqq. vid. imprimis art. 37, ubi de demonstrationis necessitate fusius locutus est. At demonstratio, quam Vir sagacissimus exhibuit, duos defectus habet. Alterum quod art. 31 et sqq. tacite supponit, congruentiam $x^{n}\equiv 1$ (translatis ratiociniis illic adhibitis in nostra signa) revera $n$ radices diversas habere, quamquam ante nihil aliud fuerit demonstratum quam quod plures habere nequeat; alterum, quod formulam art. 34 per inductionem tantummodo deduxit.

Radices primitivae, bases, indices.

57.

Numeros ad exponentem $p-1$ pertinentes radices primitivas cum ill. Eulero vocabimus. Si igitur $a$ est radix primitiva, potestatum $a,aa,a^{3}\ldots a^{p-1}\!$ residua minima omnia erunt diversa; unde facile deducitur, inter haec omnes numeros $1,2,3,\ldots p-1$, qui totidem sunt multitudine quot illa residua minima, reperiri debere: i. e. quemvis numerum per $p$ non divisibilem potestati alicui ipsius $a$ congruum esse. Insignis haec proprietas permagnae est utilitatis, operationesque arithmeticas, ad congruentias pertinentes, haud parum sublevare potest, simili fere modo, ut logarithmorum introductio operationes arithmeticae vulgaris. Radicem aliquam primitivam, $a$, ad lubitum pro basi adoptabimus, ad quam omnes numeros per $p$ non divisibiles referemus, et si fuerit $\textstyle a^{e}\equiv b{\pmod {p}}$, $e$ ipsius $b$ indicem vocabimus. Ex. gr. si pro modulo $19$, radix primitiva $2$ pro basi assumatur, respondebunt

numeris	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.	17.	18.
indices	0.	1.	13.	2.	16.	14.	6.	3.	8.	17.	12.	15.	5.	7.	11.	4.	10.	9.

Ceterum patet, manente basi, cuique numero plures indices convenire, sed hos omnes secundum modulum $p-1$ fore congruos; quamobrem quoties de indicibus sermo erit, qui secundum modulum $p-1$ sunt congrui, pro aequivalentibus habebuntur, simili modo uti numeri ipsi, quando secundum modulum $p$ sunt congrui, tamquam aequivalentes spectantur.

Algorithmus indicum.

58.

Theoremata ad indices pertinentia prorsus analoga sunt iis, quae ad logarithmos spectant.

Index producti e quotcunque factoribus conflati congruus est summae indicum singulorum factorum secundum modulum $p-1$.

Index potestatis numeri alicuius congruus est producto ex indice numeri dati in exponentem potestatis, secundum mod. $p-1$.

Demonstrationes propter facilitatem omittimus.

Hinc perspicitur, si tabulam construere velimus, ex qua omnium numerorum indices pro modulis diversis desumi possint, ex hac tum omnes numeros modulo maiores, tum omnes compositos omitti posse. Specimen huius modi tabulae ad calcem operis huius adiectum est, Tab. I, ubi in prima columna verticali positi sunt numeri primi primorumque potestates a 3 usque ad 97, qui tamquam moduli sunt spectandi, iuxta hos singulos numeri pro basi assumti; tum sequuntur indices numerorum primorum successivorum, quorum quini semper per parvulum intervallum sunt disiuncti, eodemque ordine supra dispositi sunt numeri primi; ita ut quis index numero primo dato secundum modulum datum respondeat, facile tutoque inveniri possit.

Ita ex. gr. si $p=67$ index numeri $60$, assumto $12$ pro basi erit $$\textstyle \equiv 2\operatorname {Ind.} 2+\operatorname {Ind.} 3+\operatorname {Ind.} 5{\pmod {66}}\equiv 58+9+39\equiv 40$$

59.

Index valoris cuiuscunque expressionis $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {p}}$, (art. 31) congruus est secundum modulum $p-1$ differentiae indicum numeratoris $a$ et denominatoris $b$, siquidem numeri $a$, $b$ per $p$ non sunt divisibiles.

Sit enim valor quicunque $c$: eritque $\textstyle bc\equiv a{\pmod {p}}$; hinc

	$\operatorname {Ind.} b+\operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a{\pmod {p-1}}$
adeoque	$\ \ \ \operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a-\operatorname {Ind.} b$

Si itaque tabula habetur, ex qua index cuique numero respondens pro quovis modulo primo, aliaque ex qua numerus ad indicem datum pertinens derivari possit, omnes congruentiae primi gradus facillimo negotio solvi poterunt, quoniam omnes reduci possunt ad tales, quarum modulus est numerus primus (art. 30). E. g. proposita congruentia $29x+7\equiv 0{\pmod {47}}$ erit $\textstyle x\equiv {\frac {-7}{29}}{\pmod {47}}$ Hinc $\operatorname {Ind.} x$ $\equiv$ $\operatorname {Ind.} -7-\operatorname {Ind.} 29$ $\equiv$ $\operatorname {Ind.} 40-\operatorname {Ind.} 29$ $\equiv$ $15-43$ $\equiv$ $\textstyle 18{\pmod {46}}$

At numerus cuius index $18$ invenitur $3$. Quare $\textstyle x\equiv 3{\pmod {47}}$. — Tabulam secundam quidem non adiecimus: at huius vice alia defungi poterit, uti Sect. VI ostendemus.

De radicibus congruentiae $x^{n}\equiv A$.

60.

Simili modo ut art. 31 radices congruentiarum primi gradus designavimus, in sequentibus etiam congruentiarum purarum altiorum graduum radices per signum exhibebimus. Uti scilicet $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nihil aliud significat quam radicem aequationis $x^{n}\equiv A$, ita apposito modulo per $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ denotabitur radix quaecunque congruentiae $\textstyle x^{n}\equiv A{\pmod {p}}$. Hanc expressionem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ tot valores habere dicemus, quot habet secundum $p$ incongruos, omnes enim qui secundum $p$ sunt congrui tamquam aequivalentes spectandi (art. 26). Ceterum patet, si $A$, $B$ secundum $p$ fuerint congrui, expressiones ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$, $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {B}{\pmod {p}}$ aequivalentes fore.

Iam si ponitur $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}\equiv x{\pmod {p}}$, erit $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle \operatorname {Ind.} A{\pmod {p-1}}\!$. Ex hac congruentia deducuntur ad praecepta sectionis praec. valores ipsius $\operatorname {Ind.} x$ atque ex his valores respondentes ipsius $x$. Facile vero perspicitur, $x$ habere totidem valores, quot radices congruentia $n\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle \operatorname {Ind.} A{\pmod {p-1}}$. Manifesto igitur ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ unum tantummodo valorem habebit, quando $n$ ad $p-1$ est primus; quando vero numeri $n$, $p-1$ divisorem communem habent $\delta$, atque hic est maximus, $\operatorname {Ind.} x$ habebit $\delta$ valores incongruos secundum $p-1$, adeoque ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ totidem valores incongruos secundum $p$, siquidem $\operatorname {Ind.} A$ per $\delta$ est divisibilis. Qua conditione deficiente ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nullum valorem realem habebit.

Exemplum. Quaeruntur valores expressionis $\textstyle {}^{15}\!\!\!\surd {11}{\pmod {19}}$. Solvi itaque debet congruentia $15\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\operatorname {Ind.} 11=$ $\textstyle 6{\pmod {18}}$, invenienturque tres valores ipsius $\operatorname {Ind.} x$ $\equiv$ $\textstyle 4,10,16{\pmod {18}}$. His vero respondent valores ipsius $x$, $6$, $9$, $4$.

61.

Quantumvis expedita sit methodus haec, quando tabulae necessariae adsunt, debemus tamen non oblivisci, indirectam eam esse. Operae igitur pretium erit inquirere quantum methodi directae polleant: trademusque hic ea quae ex praecedentibus hauriri possunt: alia, quae considerationes reconditiores postulant, ad sectionem VIII reservantes. Initium facimus a casu simplicissimo, ubi $A=1$, sive ubi radices congruentiae $\textstyle x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$ quaeruntur. Hic itaque, assumta radice quacunque primitiva pro basi, debet esse $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$. Quae congruentia, quando $n$ ad $p-1$ est primus, unam tantummodo radicem habebit, scilicet $\textstyle \operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$: quare in hocce casu $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ unicum valorem habet, scilicet $\equiv 1$. Quando autem numeri $n$, $p-1$ habent divisorem communem (maximum) $\delta$, congruentiae $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$ solutio completa erit $\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {\frac {p-1}{\delta }}}$ (V. art. 29), i.e. $\operatorname {Ind.} x$ secundum modulum $p-1$ alicui ex his numeris $0,{\frac {p-1}{\delta }},{\frac {2(p-1)}{\delta }},{\frac {3(p-1)}{\delta }}\ldots {\frac {(\delta -1)(p-1)}{\delta }}$congruus esse debebit, sive $\delta$ valores secundum modulum $p-1$ incongruos habebit; quare etiam $x$ in hocce casu $\delta$ valores diversos (secundum modulum $p$ incongruos) habebit. Hinc perspicitur, expressionem ${}^{\delta }\!\!\!\surd {1}$ etiam $\delta$ valores diversos habere, quorum indices cum ante allatis prorsus conveniant. Quocirca expressio $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ huic. $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ omnino aequivalet, i. e. congruentia $\textstyle x^{\delta }\equiv 1{\pmod {p}}$ easdem radices habet quas haec, $\textstyle x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$. Prior autem inferioris erit gradus, siquidem $\delta$ et $n$ sunt inaequales.

Ex. $\textstyle {}^{15}\!\!\!\surd {1}{\pmod {19}}$ tres habet valores, quia $3$ maxima numerorum $15{\text{, }}$ $18$ mensura communis, hique simul erunt valores expressionis $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {1}{\pmod {19}}$. Sunt autem hi $1$, $7$, $11$.

62.

Per hanc igitur reductionem id lucramur, ut alias congruentias formae $x^{n}\equiv 1$ solvere non sit opus, quam ubi $n$ numeri $p-1$ est divisor. Infra vero ostendemus, congruentias huius formae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet praecedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hic absolvere possumus, scilicet ubi $n=2$. Manifeste enim valores expressionis ${}^{2}\!\!\!\surd {1}$ erunt $+1$ et $-1$, quia plures quam duos habere nequit, hique $+1$ et $-1$ semper sunt incongrui, nisi modulus sit $=2$, in quo casu ${}^{2}\!\!\!\surd {1}$ unum tantum valorem habere posse, per se clarum. Hinc sequitur, $+1$ et $-1$ etiam fore valores expressionis ${}^{2m}\!\!\!\surd {1}$ quando $m$ ad ${\tfrac {p-1}{2}}$ sit primus. Hoc semper eveniet, quoties modulus est eius indolis, ut ${\tfrac {p-1}{2}}$ fiat numerus absolute primus (nisi forte $p-1=2m$, in quo casu omnes numeri $1,2,3\ldots p-1$ sunt radices) ex. gr. quando $p=3,5,7,11,$$23,47,59,83,107$ etc. Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius $-1$ semper esse $\textstyle \equiv {\frac {p-1}{2}}{\pmod {p-1}}$, quaecunque radix primitiva pro basi accipiatur. Namque $\textstyle 2\operatorname {Ind.} (-1)\equiv 0{\pmod {p-1}}$. Quare $\operatorname {Ind.} (-1)$ erit vel $\equiv 0$, vel $\textstyle \equiv {\frac {p-1}{2}}{\pmod {p-1}}$: $0$ vero semper index ipsius $+1$, atque $+1$ et $-1$ semper indices diversos habere debent (praeter casum $p=2$, ad quem hic respicere operae non est pretium).

63.

Ostendimus art. 60, expressionem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ habere $\delta$ valores diversos, aut omnino nullum, si fuerit $\delta$ divisor communis maximus numerorum $n$, $p-1$. Iam uti modo docuimus ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ et ${}^{\delta }\!\!\!\surd {A}$ aequivalentes esse, si fuerit $A\equiv 1$, generalius probabimus, expressionem ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ semper ad aliam ${}^{\delta }\!\!\!\surd {B}$ reduci posse, cui aequivaleat. Illius enim valore quocunque denotato per $x$ erit $x^{n}\equiv A$; iam sit $t$ valor quicunque expressionis $\textstyle {\frac {\delta }{n}}{\pmod {p-1}}$, quam valores reales habere ex art. 31 perspicuum; eritque $x^{tn}\equiv A^{t}\!$, at $x^{tn}\equiv x^{\delta }$ propter $\textstyle tn\equiv \delta {\pmod {p-1}}$. Quare $x^{\delta }\equiv A^{t}\!$ adeoque quicunque ipsius ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valor erit etiam valor ipsius $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$. Quoties igitur ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores reales habet, expressioni $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$ prorsus aequivalens erit, quoniam illa neque alios habet quam haec neque pauciores, licet quando ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nullum valorem realem habet, fieri tamen possit, ut $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$ valores reales habeat.

Ex. Si valores expressionis $\textstyle {}^{21}\!\!\!\surd {2}{\pmod {31}}$ quaeruntur, erit numerorum $21$ et $30$ divisor communis maximus $3$, expressionisque $\textstyle {\frac {3}{21}}{\pmod {30}}$ valor aliquis $3$, quare si ${}^{21}\!\!\!\surd {2}$ valores reales habet, huic expressioni $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {2^{3}}$ sive ${}^{3}\!\!\!\surd {8}$ aequivalebit, invenieturque revera, posterioris expressionis valores, qui sunt $2$, $10$, $19$, etiam priori satisfacere.

64.

Ne autem hanc operationem incassum suscepisse periclitemur, regulam investigare oportet, per quam statim diiudicari possit, utrum ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores reales admittat necne. Quodsi tabula indicum habetur, res in promtu est; namque ex art. 60 manifestum est, valores reales dari, si ipsius $A$ index, radice quacunque primitiva pro basi accepta, per $\delta$ sit divisibilis, sin vero minus, non dari. Attamen hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius $A=k$, si hic fuerit per $\delta$ divisibilis, erit ${\tfrac {k(p-1)}{\delta }}$ per $p-1$ divisibilis et vice versa. Atqui numeri $\textstyle A^{\frac {p-1}{\delta }}\!$ index erit ${\tfrac {k(p-1)}{\delta }}$. Quare si $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ habet valores reales, $\textstyle A^{\frac {p-1}{\delta }}\!$ unitati congruus erit, sin minus, incongruus. Ita in exemplo art. praec. habetur $\textstyle 2^{10}=1024\equiv 1{\pmod {31}}$, unde concluditur valores reales habere. Similiter certiores hinc fimus , $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {p}}$ semper valores binos reales habere, quando $p$ sit formae $4m+1$, nullum vero, quando $p$ sit formae $4m+3$; propter $(-1)^{2m}=1$ et $(-1)^{2m+1}=-1$. Elegans hoc theorema, quod vulgo ita profertur: Si $p$ est numerus primus formae $4m+1$, inveniri potest quadratum $aa$, ita ut $aa+1$ per $p$ fiat divisibilis; si vero $p$ est formae $4m-1$, tale quadratum non datur, hoc modo demonstratum est ab ill. Eulero, Comm. nov. Acad. Petrop. T. XVIII p. 112 ad annum 1773. Demonstrationem aliam iam multo ante dederat, Comm. nov. T. V. p. 5, qui prodiit a. 1760. In dissert. priori, Comm. nov. T. IV. p. 25, rem nondum perfecerat. Postea etiam ill. La Grange theorematis demonstrationem tradidit, Nouveaux Mém. de l'Ac. de Berlin A. 1775 p. 342. Aliam adhuc demonstrationem in sectione sequenti, ubi proprie de hoc argumento agendum erit, dabimus.

65.

Postquam omnes expressiones $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ ad tales reducere docuimus, ubi $n$ divisor numeri $p-1$, criteriumque nacti sumus, utrum valores reales admittat necne, tales expressiones $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$, ubi $n$ ipsius $p-1$ est divisor, accuratius considerabimus. Primo ostendemus, quam relationem valores singuli expressionis inter se habeant, tum artificia quaedam trademus, quorum auxilio unus valor expressionis saepenumero inveniri possit.

Primo. Quando $A\equiv 1$ atque $r$ aliquis ex $n$ valoribus expressionibus $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$, sive $\textstyle r\equiv 1{\pmod {p}}$, omnes etiam ipsius $r$ potestates erunt valores istius expressionis; horum autem totidem erunt diversi, quot unitates habet exponens, ad quem $r$ pertinet (art. 48). Quodsi igitur $r$ est valor ad exponentem $n$ pertinens, potestates ipsius $r$ hae $r,r^{2},r^{3}\ldots r^{n}\!$ (ubi loco ultimae unitas substitui potest) omnes expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ valores involvent. Qualia autem subsidia exstent ad tales valores inveniendos, qui ad exponentem $n$ pertineant, in Sect. VIII fusius explicabimus.

Secundo. Quando $A$ unitati est incongruus, unusque valor expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ notus, qui sit $z$, reliqui hoc modo inde deducuntur. Sint valores expressionis ${}^{n}\!\!\!\surd {1}$ hi $1,r,r^{2}\ldots r^{n-1}$(uti modo ostendimus), eruntque omnes expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores hi $z,zr,zr^{2}\ldots zr^{n-1}$ namque omnes hos congruentiae $x^{n}\equiv A$ satisfacere inde manifestum, quod, posito quocunqueeorum $\equiv zr^{k}\!$, potestas ipsius $n^{\mathrm {ta} }\!$, $z^{n}r^{nk}\!$, propter $r^{n}\equiv 1$ et $z^{n}\equiv A$, ipsi $A$ fit congrua: omnes diverses esse ex art. 23 facile intelligitur; plures autem valores quam hos, quorum numerus est $n$, expressio ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ habere nequit. Ita ex. gr. si alter expressionis ${}^{2}\!\!\!\surd {A}$ valor est $z$, alter erit $-z$. Denique hinc concludendum, omnes valores expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ inveniri non posse, nisi simul omnes valores expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {1}$ constent.

66.

Secundum quod nobis proposueramus fuit docere, in quo casu unus expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ valor (ubi $n$ supponitur esse divisor ipsius $p-1$) directe inveniri possit. Hoc evenit, quando aliquis valor potestati alicui ipsius $A$ congruus evadit, qui casus quum haud raro occurrat, aliquantum huic rei immorari non superfluum erit. Sit talis valor, si quis datur $z$, sive $z\equiv A^{k}\!$ et $\textstyle A\equiv z^{n}{\pmod {p}}$. Hinc colligitur $A\equiv A^{kn}\!$; quare si numerus $k$ habetur, ita ut sit $A\equiv A^{kn}\!$, $A^{k}\!$ erit valor quaesitus. At huic conditioni aequivalet ista, ut sit $\textstyle 1\equiv kn{\pmod {t}}$, designante $t$ exponentem, ad quem pertinet $A$ (art. 46, 48). Ut vero haec congruentia possibilis sit, requiritur, ut sit $n$ ad $t$ primus. Hoc in casu erit $\textstyle k\equiv {\frac {1}{n}}{\pmod {t}}$; si vero $t$ et $n$ divisorem communem habent, nullus valor $z$ potestati ipsius $A$ congruus esse potest.

67.

Quum autem ad hanc solutionem ipsum $t$ novisse oporteat, videamus quomodo procedere possimus, si hunc numerum ignoremus. Primo facile intelligitur, $t$ ipsum ${\tfrac {p-1}{n}}$ metiri debere, siquidem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ valores reales habeat, uti hic semper supponimus. Sit enim quicunque valor $y$, eritque tum $y^{p-1}\equiv 1$, tum $\textstyle y^{n}\equiv A{\pmod {p}}$; quare elevando partes posterioris congruentiae ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{n}}$^tam, fiet $\textstyle A^{\frac {p-1}{n}}\equiv 1$; adeoque ${\tfrac {p-1}{n}}$ per $t$ divisibilis (art. 48). Iam si ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ est primus, congruentia art. praec. $kn\equiv 1$ etiam secundum modulum ${\tfrac {p-1}{n}}$ solvi poterit, manifestoque valor ipsius $k$ congruentiae secundum modulum hunc satisfaciens eidem etiam secundum modulum $t$, qui ipsum ${\tfrac {p-1}{n}}$ metitur, satisfaciet (art. 5). Tum igitur quod quaerebatur, inventum. Si vero ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ non est primus, omnes ipsius ${\tfrac {p-1}{n}}$ factores primi, qui simul ipsum $n$ metiuntur, ex ${\tfrac {p-1}{n}}$ eiiciantur. Hinc nanciscemur numerum ${\tfrac {p-1}{nq}}$, ad $n$ primum, designante $q$ productum ex omnibus illis factoribus primis, quos eiecimus. Quodsi iam conditio ad quam in art. praec. pervenimus ut $t$ ad $n$ sit primus, locum habet, $t$ etiam ad $q$ erit primus adeoque etiam ipsum ${\tfrac {p-1}{nq}}$ metietur. Quare si congruentia $kn\equiv 1$$\textstyle {\pmod {\frac {p-1}{nq}}}$ solvitur (quod fieri potest quia $n$ ad ${\tfrac {p-1}{nq}}$ primus), valor ipsius $k$ etiam secundum modulum $t$ congruentiae satisfaciet, id quod quaerebatur. Totum hoc artificium in eo versatur, ut numerus eruatur, qui ipsius $t$, quem ignoramus, vice fungi possit. Attamen probe meminisse oportet, nos, quando ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ non est primus, supposuisse conditionem art. praec. locum habere, quae si deficit omnes conclusiones erroneae erunt; atque si regulas datas temere sequendo pro $z$ valor invenitur, cuius potestas $n$^ta ipsi $A$ non sit congrua, indicio hoc est, conditionem deficere adeoque methodum hanc omnino adhiberi non posse.

68.

Sed in hocce etiam casu saepe prodesse potest, hunc laborem suscepisse; operaeque pretium est, quomodo hic valor falsus ad veros sese habeat, investigare. Supponamus itaque, numeros $k$, $z$ rite esse determinatos sed $z^{n}$ non esse $\textstyle \equiv A{\pmod {p}}$. Tum si modo valores expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ determinari possint, hos singulos per $z$ multiplicando valores ipsius ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ obtinebimus. Si enim $v$ est valor aliquis ipsius $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}$: erit $(vz)^{n}\equiv A$. Sed expressio $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}$ eatenus hac ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ simplicior, quod $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ ad exponentem minorem plerumque pertinet quam $A$. Scilicet si numerorum $t$, $q$ divisor communis maximus est $d$, $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ ad exponentem $d$ pertinebit, id quod ita demonstratur. Substitute pro $z$ valore, fit $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}\equiv {\frac {1}{A^{kn-1}}}{\pmod {p}}$. At $kn-1$ per ${\tfrac {p-1}{nq}}$ divisibilis (art. praec), ${\tfrac {p-1}{n}}$ vero per $t$ (ibid.) sive ${\tfrac {p-1}{nd}}$ per ${\tfrac {t}{d}}$. Atqui ${\tfrac {t}{d}}$ ad ${\tfrac {q}{d}}$ est primus (hyp.), quare etiam ${\tfrac {p-1}{nd}}$ per ${\tfrac {tq}{dd}}$ sive ${\tfrac {p-1}{nq}}$ per ${\tfrac {t}{d}}$, adeoque etiam $kn-1$ per ${\tfrac {t}{d}}$ et $(kn-1)d$ per $t$ erit divisibilis. Hinc $\textstyle A^{(kn-1)d}\equiv 1{\pmod {p}}$. Unde facile deducitur, ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad potestatem $d\,$^tam evectum unitati congruum fieri. Quod vero ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad exponentem minorem quam $d$ pertinere non possit, facile quidem demonstrari potest, sed quoniam ad finem nostrum non requiritur, huic rei non immoramur. Certi igitur esse possumus, $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ semper ad minorem exponentem pertinere quam $A$, unico excepto casu, scilicet quando $t$ ipsum $q$ metitur, adeoque $d=t$.

Sed quid iuvat, quod ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad minorem exponentem pertinet quam $A$? Plures numeri dantur, qui possunt esse $A$, quam qui possunt esse ${\tfrac {A}{z^{n}}}$, et quando secundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ evolvere occasio est, id lucramur, ut plures ex eodem fonte haurire possimus. Ita ex. gr. semper unicum saltem valorem expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {29}}$ determinare in potestate erit, si modo expressionis $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {29}}$ valores (qui sunt $\pm 12$) innotuerint. Facile enim ex art. praec. perspicitur, huiusmodi expressionum unum valorem semper directe determinari posse, quando $t$ impar, et $d$ fieri $=2$, quando $t$ par; praeter $-1$ autem nullus numerus ad exponentem $2$ pertinet.

Exempla. Quaeritur $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {31}{\pmod {37}}$. Hic $p-1=36$, $n=3$, ${\tfrac {p-1}{3}}=12$, adeoque $q=3$: debet igitur esse $\textstyle 3k\equiv 1{\pmod {4}}$ quod obtinetur ponendo $k=3$. Hinc $\textstyle z\equiv 31^{3}{\pmod {37}}\equiv 6$, inveniturque revera $\textstyle 6^{3}\equiv 31{\pmod {37}}$. Si valores expressionis $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {1}{\pmod {37}}$ sunt noti, etiam reliqui expr. ${}^{3}\!\!\!\surd {6}$ valores determinari possunt. Sunt vero illi $1$, $10$, $26$, per quos multiplicando ipsum $6$, prodeunt reliqui $\equiv 23$ et $8$.

Si autem quaeritur valor expr. $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {3}{\pmod {37}}$, erit $n=2$, ${\tfrac {p-1}{n}}=18$; adeoque $q=2$. Hinc debet esse $\textstyle 2k\equiv 1{\pmod {9}}$, unde fit $\textstyle k\equiv 5{\pmod {9}}$. Quare $\textstyle z\equiv 3^{5}\equiv 21{\pmod {37}}$; at $21^{2}\!$ non $\equiv 3$, sed $\equiv 34$; est autem $\textstyle {\frac {3}{34}}{\pmod {37}}$$\equiv$$-1$, atque $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {37}}\equiv \pm 6$; unde obtinentur valores veri $\pm 6.21=\pm 15$.

Haec fere sunt, quae hic de talium expressionum evolutione tradere licuit. Palam est, methodos directas satis prolixas saepe evasuras: at hoc incommodum tantum non omnibus methodis directis in numerorum theoria incumbit: neque ideo negligendum censuimus, quantum hic praestare valeant ostendere. Etiam hic observare convenit, artificia particularia quae exercitato haud raro se offerunt sigillatim explicare, non esse instituti nostri.

Nexus indicum in systematibus diversis.

69.

Revertimur nunc ad radices, quas diximus primitivas. Ostendimus, radice primitiva quacunque pro basi assumta omnes numeros, quorum indices ad $p-1$ primi, etiam fore radices primitivas, nullosque praeter hos: unde simul radicum primitivarum multitudo sponte innotescit. V. art. 53. Quamnam autem radicem primitivam pro basi adoptare velimus, in genere arbitrio nostro relinquitur; unde intelligitur, etiam hic, ut in calculo logarithmico, plura quasi systemata dari posse^[2], quae quo vinculo connexa sint videamus. Sint $a$,$b$ duae radices primitivae, aliusque numerus $m$, atque, quando $a$ pro basi assumitur, index numeri $b\equiv \beta$, numeri $m$ vero index $\textstyle \equiv \mu {\pmod {p-1}}$; quando autem $b$ pro basi assumitur, index numeri $a\equiv \alpha$, numeri $m$ vero $\textstyle \equiv \nu {\pmod {p-1}}$. Tum erit $\textstyle \alpha \beta \equiv 1{\pmod {p-1}}$; namque $a^{\beta }\equiv b$, quare $a^{\alpha \beta }$ $\equiv$ $b^{\alpha }$ $\equiv$ $\textstyle a{\pmod {p}}$, (hyp.), hinc $\textstyle \alpha \beta \equiv 1{\pmod {p-1}}$. Per simile ratiocinium invenitur $\nu \equiv \alpha \mu$, atque $\textstyle \mu \equiv \beta \nu {\pmod {p-1}}$. Si igitur tabella indicum pro basi $a$ constructa habetur, facile in aliam converti potest, ubi $b$ basis. Si enim pro basi $a$ ipsius $b$ index est $\equiv \beta$, pro basi $b$ ipsius $a$ index erit $\textstyle \equiv {\frac {1}{\beta }}{\pmod {p-1}}$, multiplicandoque per hunc numerum omnes tabellae indices, habebuntur omnes indices pro basi $b$.

70.

Quamvis autem plures indices numero dato contingere possint, aliis aliisque radicibus primitivis pro basi acceptis, omnes tamen in eo convenient, quod omnes eundem divisorem maximum cum $p-1$ communem habebunt. Si enim pro basi $a$, index numeri dati est $m$, pro basi $b$ vero $n$, atque divisores maximi his cum $p-1$ communes $\mu$, $\nu$ supponuntur esse inaequales, alter erit maior, ex. gr. $\mu >\nu$, adeoque $\mu$ ipsum $n$ non metietur. At designato indice ipsius $a$, quando $b$ pro basi assumitur, per $\alpha$, erit (art. praec.) $\textstyle n\equiv \alpha m{\pmod {p-1}}$ adeoque $\mu$ etiam ipsum $n$ metietur. Q. E. A.

Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati, ipsique $p-1$ communem, a basi non pendere, etiam inde perspicuum, quod aequalis est ipsi ${\tfrac {p-1}{t}}$, designante $t$ exponentem ad quem numerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si enim index pro basi quacunque est $k$, erit $t$ minimus numerus per quem $k$ multiplicatus ipsius $p-1$ multiplum evadit (excepta cifra) vid. artt. 48, 58, sive minimus valor expressionis $\textstyle {\frac {0}{k}}{\pmod {p-1}}$ praeter cifram; hunc autem aequalem esse divisori maximo communi numerorum $k$ et $p-1$, ex art. 29 nullo negotio derivatur.

71.

Porro facile demonstratur, basin ita semper accipere licere, ut numerus ad exponentem $t$ pertinens indicem quemlibet datum nansiscatur, cuius quidem maximus divisor cum $p-1$ communis $={\tfrac {p-1}{t}}$. Designemus hunc brevitatis gratia per $d$, sitque index propositus $\equiv dm$, numerique propositi, quando quaelibet radix primitiva $a$ pro basi accipitur, index $\equiv dn$, eruntque $m$, $n$ ad ${\tfrac {p-1}{d}}$ sive ad $t$ primi. Tum si $\varepsilon$ est valor expressionis $\textstyle {\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}}$, simulque ad $p-1$ primus, erit $a^{\varepsilon }$ radix primitiva, qua pro basi accepta numerus propositus indicem $dm$ adipiscetur (erit enim $a^{\varepsilon dm}\equiv a^{dn}\equiv$ numero proposito), id quod desiderabatur. Sed expressionem $\textstyle {\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}}$ valores ad $p-1$ primos admittere, ita probatur. Aequivalet illa expressio huic: $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {\frac {p-1}{d}}}$ sive $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}$ vid. art. 31, 2, eruntque omnes eius valores ad $t$ primi; si enim aliquis valor $e$ divisorem cum $t$ communem haberet, hic divisor etiam ipsum $me$ metiri deberet, adeoque etiam ipsum $n$, cui $me$ secundum $t$ congruus, contra hypoth., ex qua $n$ ad $t$ primus. Quando igitur omnes divisores primi ipsius $p-1$ etiam ipsum $t$ metiuntur, omnes expr. $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}$ valores ad $p-1$ primi erunt multitudoque eorum $=d$; quando autem $p-1$ alios adhuc divisores primos, $f,g,h$ etc. implicat, ipsum $t$ non metientes, ponatur valor quicunque expr. $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}\equiv e$. Tum autem quia omnes $t,f,g,h$ etc. inter se primi, inveniri potest numerus $\varepsilon$, qui secundum $t$ ipsi $e$, secundum $f,g,h$ etc. vero numeris quibuscunque ad hos respective primis fiat congruus (art. 32). Talis itaque numerus per nullum factorem primum ipsius $p-1$ divisibilis adeoque ad $p-1$ primus erit, uti desiderabatur. Tandem haud difficile ex combinationum theoria deducitur, talium valorum multitudinem fore $\textstyle ={\frac {p-1\,.f-1\,.g-1\,.h-1\,.\ \mathrm {etc.} }{\ \ t\,\ \ .\ \ f\ \ .\ \ g\ \ \,.\ \ h\ \ .\ \mathrm {etc.} }}$; sed ne digressio haec in nimiam molem excrescat, demonstrationem, quum ad institutum nostrum non sit adeo necessaria, omittimus.

Bases usibus peculiaribus accommodatae.

72.

Quamvis in genere prorsus arbitrarium sit, quaenam radix primitiva pro basi adoptetur, interdum tamen bases aliae prae aliis commoda quaedam peculiaria praebere possunt. In tabula I semper numerum $10$ pro basi assumsimus, quando fuit radix primitiva; alioquin basin ita semper determinavimus, ut numeri $10$ index evaserit quam minimus, i. e. $={\tfrac {p-1}{t}}$ denotante $t$ exponentem, ad quem $10$ pertinuit. Quid vero hinc lucremur, in Sect. VI ostendemus, ubi eadem tabula ad alios adhuc usus adhibebitur. Sed quoniam etiam hic aliquid arbitrarii remanere potest, ut ex art. praec. apparet: ut aliquid certi statueremus, ex omnibus radicibus primitivis quaesitum praestantibus minimam semper pro basi elegimus. Ita pro $p=73$, ubi $t=8$ atque $d=9$, $a^{\varepsilon }$ habet ${\tfrac {72.2}{8.3}}$ i. e. $6$ valores, qui sunt $5,14,20,28,39,40$. Assumsimus itaque minimum $5$ pro basi.

Methodus radices primitivas assignandi.

73.

Methodi radices primitivas inveniendi maximam partem tentando innituntur. Si quis ea quae art. 55 docuimus cum iis quae infra de solutione congruentiae $x^{n}\equiv 1$ trademus confert, omnia fere, quae per methodos directas effici possunt, habebit. Ill. Euler confitetur, Opusc. Analyt. T. I. p. 152, maxime difficile videri, hos numeros assignare, eorumque indolem ad profundissima numerorum mysteria esse referendam. At tentando satis expedite sequenti modo determinari possunt. Exercitatus operationis prolixitati per multifaria artificia particularia succurrere sciet: haec vero per usum multo citius quam per praecepta ediscuntur.

1°. Assumatur ad libitum numerus ad $p$ (ita semper modulum designamus) primus, $a$, (plerumque ad calculi brevitatem conducit, si quam minimum accipimus, ex. gr. numerum $2$) determineturque eius periodus (art. 46), i. e. residua minima ipsius potestatum, donec ad potestatem $a^{t}\!$ perveniatur, cuius residuum minimum sit $1$^[3]. Iam si fuerit $t=p-1$, $a$ est radix primitiva.

2°. Si vero $t<p-1$, accipiatur alius numerus $b$ in periodo ipsius $a$ non contentus, investigeturque simili modo huius periodus. Designate exponente ad quem $b$ pertinet per $u$, facile perspicitur $u$ neque ipsi $t$ aequalem neque ipsius partem aliquotam esse posse, in utroque enim casu fieret $b^{t}\equiv 1$, quod esse nequit, quum periodus ipsius $a$ omnes numeros amplectatur, quorum potestas exponentis $t$ unitati congrua (art. 53). Quodsi $u$ fuerit $=p-1$, erit $b$ radix primitiva; si vero $u$ non quidem $=p-1$, sed tamen multiplum ipsius $t$, id lucrati sumus, ut numerus constet ad exponentem maiorem pertinens, adeoque scopo nostro, qui est invenire numerum ad exponentem maximum pertinentem, propiores iam simus. Si vero $u$ neque $=p-1$, neque ipsius $t$ multiplum, tamen numerum invenire possumus ad exponentem ipsis $t$, $u$ maiorem pertinentem, nempe ad exponentem minimo dividuo communi numerorum $t$, $u$ aequalem. Sit hic $=y$, resolvaturque $y$ ita in duos factores inter se primos, $m$, $n$, ut alter ipsum $t$, alter ipsum $u$ metiatur^[4]. Tum fiat potestas ${\tfrac {t}{m}}$^ta ipsius $a$, $\equiv A$, potestas ${\tfrac {u}{n}}$^ta ipsius $b$, $\textstyle \equiv B{\pmod {p}}$, eritque productum $AB$ numerus ad exponentem $y$ pertinens; facile enim intelligitur, $A$ ad exponentem $m$, $B$ ad exponentem $n$ pertinere; adeoque productum $AB$ ad $mn$ pertinebit, quia $m$, $n$ inter se sunt primi, id quod prorsus eodem modo uti in art. 55, II processimus probari poterit.

3°. Iam si $y=p-1$, $AB$ erit radix primitiva; sin minus, simili modo ut antea alius numerus adhibendus erit, in periodo ipsius $AB$ non occurrens; eritque hic aut radix primitiva, aut pertinebit ad exponentem ipso $y$ maiorem, aut certe ipsius auxilio (uti ante) numerus ad exponentem ipso $y$ maiorem pertinens inveniri poterit. Quum igitur numeri qui per repetitionem huius operationis prodeunt, ad exponentes continuo crescentes pertineant, manifestum est tandem numerum inventum iri, qui ad exponentem maximum pertineat, i. e. radicem primitivam, q. e. f.

74.

Per exemplum praecepta haec clariora fient. Sit $p=73$, pro quo radix primitiva quaeratur. Tentemus primo numerum $2$, cuius periodus prodit haec:

1.	2.	4.	8.	16.	32.	64.	55.	37.	1.	etc.
0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	etc.

Quum igitur iam potestas exponentis $9$ unitati congrua fiat, $2$ non est radix primitiva. Tentetur alius numerus in periodo ipsius $2$ non occurrens ex. gr. $3$, cuius periodus est haec:

1.	3.	9.	27.	8.	24.	72.	70.	64.	46.	65.	49.	1.	etc.
0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	etc.

Quare neque $3$ est radix primitiva. Exponentium autem ad quos $2$, $3$ pertinent, (i.e. numerorum $9$, $12$) dividuus communis minimus est $36$, qui in factores $9$ et $4$ ad praecepta art. praec. resolvitur. Evehendus itaque $2$ ad potestatem exponentis ${\tfrac {9}{9}}$, i. e. numerus $2$ ipse retinendus; $3$ autem ad potestatem exponentis $3$: productum ex his est $54$, quod itaque ad exponentem $36$ pertinebit. Si denique ipsius $54$ periodus computatur numerusque in hac non contentus ex. gr. $5$ denuo tentatur, hunc esse radicem primitivam, reperietur.

Theoremata varia de periodis et radicibus primitivis.

75.

Antequam hoc argumentum deseramus, propositiones quasdam trademus, quae ob simplicitatem suam attentione haud indignae videntur.

Productum ex omnibus terminis periodi numeri cuiusvis est $\equiv 1$, quando ipsorum multitudo, sive exponens ad quem numerus pertinet, est impar, et $\equiv -1$, quando ille exponens est par.

Ex. Pro modulo $13$ periodus numeri $5$ constat ex his terminis $1,5,12,8$ quorum productum $\textstyle 480\equiv -1{\pmod {13}}$.

Secundum eundem modulum periodus numeri $3$ constat e terminis $1,3,9$ quorum productum $\textstyle 27\equiv 1{\pmod {13}}$.

Demonstr. Sit exponens, ad quem numerus pertinet, $t$, atque index numeri, ${\tfrac {p-1}{t}}$, id quod si basis rite determinatur, semper fieri potest (art. 71). Tum index producti ex omnibus periodi terminis erit $\equiv (1+2+3+\mathrm {etc.} +t-1){\tfrac {p-1}{t}}={\tfrac {(t-1)(p-1)}{2}}$ i. e. $\textstyle \equiv 0{\pmod {p-1}}$, quando $t$ impar, et $\equiv {\tfrac {p-1}{2}}$, quando $t$ par; hinc in priori casu productum illud $\textstyle \equiv 1{\pmod {p}}$; in posteriori vero $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$, (art. 62). Q. E. D.

76.

Si numerus iste in theor. praecedente est radix primitiva, eins periodus omnes numeros $1,2,3\ldots p-1$ comprehendet, quorum productum itaque semper $\equiv -1$ (namque $p-1$ semper par, unico casu $2$ excepto in quo $-1$ et $+1$ aequivalent). Theorema hoc elegans quod ita enunciari solet: productum ex omnibus numeris numero primo dato minoribus, unitate auctum per hunc primum est divisibile, primum a cel. Waring est prolatum armigeroque Wilson adscriptum, Meditt. algebr. Ed. 3. p. 380. Sed neuter demonstrare potuit, et cel. Waring fatetur demonstrationem eo difficiliorem videri, quod nulla notatio fingi possit, quae numerum primum exprimat. — At nostro quidem iudicio huiusmodi veritates ex notionibus potius quam ex notationibus hauriri debebant. Postea ill. La Grange demonstrationem dedit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1771. Innititur ea considerationi coëfficientium ex evolutione producti $x+1\ .\ x+2\ .\ x+3\ .\ \ldots \ .\ x+p-1$ oriundorum. Scilicet posito hoc producto $\equiv x^{p-1}+Ax^{p-2}+Bx^{p-3}+\mathrm {etc.} +Mx+N$ coëfficientes $A$, $B$ etc. $M$ per $p$ erunt divisibiles, $N$ vero erit $=1\,.\,2\,.\,3\,.\ldots \,p-1$. Iam pro $x=1$, productum per $p$ divisibile; tunc autem erit $\textstyle \equiv 1+N{\pmod {p}}$; quare necessario $1+N$ per $p$ dividi poterit.

Denique ill. Euler in Opusc. analyt. T. I. p. 329 demonstrationem dedit, cum ea quam nos hic exposuimus conspirantem. Quodsi tales viri theorema hoc mediationibus suis non indignum censuerunt, non improbatum iri speramus, si aliam adhuc demonstrationem apponimus.

77.

Quando secundum modulum $p$, productum duorum numerorum $a$, $b$ unitati est congruum, numeros $a$, $b$ cum ill. Euler socios vocemus. Tum secundum sect. praec. quivis numerus positivus ipso $p$ minor socium habebit positivum ipso $p$ minorem et quidem unicum. Facile autem probari potest ex numeris $1,2,3\ldots p-1$; $1$ et $p-1$ esse unicos qui sibi ipsis sint socii: numeri enim sibi ipsis socii, radices erunt congruentiae $xx\equiv 1$; quae quoniam est secundi gradus, plures quam duas radices, i. e. alias quam $1$ et $p-1$ habere nequit. Abiectis itaque his numerorum reliquorum $2,3\ldots p-2$ bini semper erunt associati; quare productum ex ipsis erit $\equiv 1$ adeoque productum ex omnibus $1,2,3\ldots p-1$, $\equiv p-1$ sive $\equiv -1$. Q. E. D.

Ex. gr. pro $p\equiv 13$ numeri $2,3,4\ldots 11$ ita associantur: $2$ cum $7$ ; $3$ cum $9$; $4$ cum $10$; $5$ cum $8$; $6$ cum $11$; scilicet $2\ .\ 7\equiv 1$ ; $3\ .\ 9\equiv 1$ etc. Hinc $2\ .\ 3\ .\ 4\ldots 11\equiv 1$; adeoque $1\ .\ 2\ .\ 3\ldots 12\equiv -1$.

78.

Potest autem theorema Wilsonianum generalius sic proponi. Productum ex omnibus numeris, numero quocunque dato $A$ minoribus simulque ad ipsum primis, congruum est secundum $A$ unitati vel negative vel positive sumtae. Negative sumenda est unitas, quando $A$ est formae $p^{m}\!$, aut huiusce $2p^{m}\!$, designante $p$ numerum primum a $2$ diversum, insuperque quando $A=4$; positive autem in omnibus casibus reliquis. Theorema, quale a cel. Wilson est prolatum, sub casu priori continetur. — Ex. gr. pro $A=15$ productum e numeris $1,2,4,7,8,11,13,14$ est $\textstyle \equiv 1{\pmod {15}}$. Demonstrationen brevitatis gratia non adiungimus: observamus tantum, eam simili modo perfici posse ut in art. praec., excepto quod congruentia $xx\equiv 1$ plures quam duas radices habere potest, quae considerationes quasdam peculiares postulant. Posset etiam demonstratio ex consideratione indicum peti, similiter ut in art. 75, si ea quae mox de modulis non primis trademus, conferantur.

79.

Revertimur ad enumerationem aliarum propositionum (art. 75).

Summa omnium terminorum periodi numeri cuiusvis est $\equiv 0$, uti in ex. art. 75, $\textstyle 1+5+12+8=26\equiv 0{\pmod {13}}$.

Dem. Numerus de cuius periodo agitur, sit $=a$, atque exponens ad quem pertinet, $=t$, eritque summa terminorum omnium periodi, $\textstyle \equiv 1+a+aa+a^{3}+\mathrm {etc.} +a^{t-1}\equiv {\frac {a^{t}-1}{a-1}}{\pmod {p}}$ At $a^{t}-1\equiv 0$: quare summa haec semper erit $\equiv 0$ (art. 22), nisi forte $a-1$ per $p$ sit divisibilis, sive a $\equiv 1$; hunc igitur casum excipere oportet, si vel unum terminum periodum vocare velimus.

80.

Productum ex omnibus radicibus primitivis est $\equiv 1$, excepto unico casu, $p=3$; tum enim una tantum datur radix primitiva, $2$.

Demonstr. Si radix primitiva quaecunque pro basi assumitur, indices radicum omnium primitivarum erunt numeri ad $p-1$ primi simulque ipso minores. At horum numerorum summa, i. e. index producti ex omnibus radicibus primitivis, est $\textstyle \equiv 0{\pmod {p-1}}$ adeoque productum $\textstyle \equiv 1{\pmod {p}}$; facile enim perspicitur, si $k$ fuerit numerus ad $p-1$ primus, etiam $p-1-k$ ad $p-1$ primum fore adeoque binos numeros ad $p-1$ primos summam constituere per $p-1$ divisibilem; ($k$ autem ipsi $p-1-k$ numquam aequalis esse potest, praeter casum, $p-1=2$, sive $p=3$, quem excepimus; manifesto enim ${\tfrac {p-1}{2}}$ in omnibus reliquis casibus ad $p-1$ non est primus).

81.

Summa omnium radicum primitivarum est aut $\equiv 0$ (quando $p-1$ per quadratum aliquod est divisibilis), aut $\textstyle \equiv \pm 1{\pmod {p}}$, (quando $p-1$ est productum e numeris primis inaequalibus; quorum multitudo si est par signum positivum, si vero impar, negativum sumendum).

Ex. 1° pro $p=13$, habentur radices primitivae $2,6,7,11$, quarum summa $\textstyle 26\equiv 0{\pmod {13}}$.

2° pro $p=11$, radices primitivae sunt $2,6,7,8$ quarum summa $23\equiv \textstyle +1{\pmod {11}}$.

3° pro $p=31$, radices primitivae sunt $3,11,12,13,17,21,22,24$, quarum summa $\textstyle 123\equiv -1{\pmod {31}}$.

Demonstr. Supra demonstravimus (art. 55, II), si $p-1$ fuerit $=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. (designantibus $a$,$b$,$c$ etc. numeros primos inaequales) atque $A$, $B$, $C$ etc. numeri quicunque ad exponentes $a^{\alpha }$, $b^{\beta }$, $c^{\gamma }$ etc. respective pertinentes, omnia producta $ABC$ etc. exhibere radices primitivas. Facile vero etiam demonstrari potest, quamvis radicem primitivam per huiusmodi productum exhiberi posse et quidem unico tantum modo^[5].

Unde sequitur haec producta loco ipsarum radicum primitivarum accipi posse. At quoniam in his productis omnes valores ipsius $A$ cum omnibus ipsius $B$ etc. combinari oportet, omnium horum productorum summa aequalis est producto ex summa omnium valorum ipsius $A$, in summam omnium valorum ipsius $B$, in summam omnium valorum ipsius $C$ etc, uti ex doctrina combinationum notum est. Designentur omnes valores ipsorum $A$; $B$ etc., per $A$, $A'$, $A''$ etc.; $B$, $B'$, $B''$ etc. etc., eritque summa omnium radicum primitivarum $\equiv (A+A'+\mathrm {etc.} )(B+B'+\mathrm {etc.} )\mathrm {etc.}$ Iam dico, si exponens $\alpha$ fuerit $=1$, summam $A+A'+A''+$etc. fore $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$, si vero $\alpha$ fuerit $>1$, summam hanc fore $\equiv 0$, similiterque de reliquis $\beta$, $\gamma$ etc. Simulac haec erunt demonstrata, theorematis nostri veritas manifesta erit. Quando enim $p-1$ per quadratum aliquod divisibilis est, aliquis exponentium $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. unitatem superabit, adeoque aliquis factorum, quorum producto congrua est summa omnium radicum primitivarum, erit $\equiv 0$, et proin etiam productum ipsum: quando vero $p-1$ per nullum quadratum dividi potest, omnes exponentes $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. erunt $=1$, unde summa omnium radicum primitivarum congrua erit producto ex tot factoribus, quorum quisque $\equiv -1$, quot habentur numeri $a$, $b$, $c$ etc. , adeoque erit $\equiv \pm 1$, prout horum numerorum multitudo par vel impar. Illa autem ita probantur.

1°. Quando $\alpha =1$ atque $A$ numerus ad exponentem $a$ pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentem pertinentes erunt $A^{2},A^{3}\ldots A^{a-1}$. At $1+A+A^{2}+A^{3}\ldots +A^{a-1}$ est summa periodi completae, adeoque $\equiv 0$ (art. 79), quare $A+A^{2}+A^{3}\ldots +A^{a-1}\equiv -1$

2°. Quando autem $\alpha >1$, atque $A$ numerus ad exponentem $a^{\alpha }$ pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentem pertinentes habebuntur, si ex his $A^{2},A^{3},A^{4}\ldots A^{a^{\alpha }-1}$ reiiciuntur $A^{a},A^{2a},A^{3a}$ etc., vid art. 53; quare summa eorum erit $\equiv 1+A+A^{2}\ldots +A^{a^{\alpha }-1}-(1+A^{a}+A^{2a}\ldots +A^{a^{\alpha }-a})$ i. e. congrua differentiae duarum periodorum, adeoque $\equiv 0$. Q. E. D.

De modulis qui sunt numerorum primorum potestates.

82.

Omnia quae hactenus exposuimus innituntur suppositioni, modulum esse numerum primum. Superest ut eum quoque casum consideremus, ubi pro modulo assumitur numerus compositus. Attamen quum hic neque proprietates tam elegantes eniteant, quam in casu priori, neque ad eas inveniendas artificiis subtilibus sit opus, sed potius omnia fere per solam principiorum praecedentium applicationem erui possint, omnes minutias hic exhaurire superfluum atque taediosum foret. Breviter itaque quae huic casui cum priori sint communia quaeque propria exponemus.

83.

Propositiones artt. 45 — 48 generaliter iam sunt demonstratae. At prop. art. 49 ita immutari debet:

Si $f$ designat, quot numeri dentur ad $m$ primi simul ipso $m$ minores, i. e. si $f=\varphi m$ (art. 38): exponens $t$ infimae potestatis numeri dati $a$ ad $m$ primi, quae secundum modulum $m$ unitati est congrua, vel erit $=f$ vel pars aliquota huius numeri.

Demonstratio prop. art. 49 etiam pro hoc casu valere potest, si modo ubique loco ipsius $p$, $m$, loco ipsius $p-1$, $f$, et loco numerorum $1,2,3,\ldots p-1$, numeri ad $m$ primi simulque ipso $m$ minores substituantur. Huc itaque lectorem ablegamus, Ceterum demonstrationes reliquae de quibus illic locuti sumus (artt. 50, 51), non sine multis ambagibus ad hunc casum applicari possunt. — At respectu propositionum sequentium, art. 52 sqq. magna differentia incipit inter modulos, qui numerorum primorum sunt potestates, eosque, qui per plures numeros primos dividi possunt. Seorsim itaque modulos prioris generis contemplabimur.

84.

Si modulus $m=p^{n}\!$, designante $p$ numerum primum, erit $f=p^{n-1}(p-1)$ (art. 38). Iam si disquisitiones in artt. 53, 54 contentae ad hunc casum applicantur, mutatis mutandis uti in art. praec. praescripsimus, invenietur, omnia quae ibi demonstrata sunt etiam pro hoc casu locum habere, si modo ante probatum esset, congruentiam formae $\textstyle x^{t}-1\equiv 0{\pmod {p^{n}}}$ plures quam $t$ radices diversas habere non posse. Pro modulo primo hanc veritatem ex propositione generaliori art. 43 deduximus, quae autem in omni sua extensione de modulis primis tantummodo valet, neque adeo ad hunc casum applicanda. Attamen propositionem pro hoc casu particulari veram esse, per methodum singularem demonstrabimus. Infra (sect. VIII) idem facilius invenire docebimus.

85.

Demonstrandum proponimus nobis hoc theorema:

Si numerorum $t$ et $p^{n-1}(p-1)$ divisor communis maximus est $e$, congruentia $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ habebit $e$ radices diversas.

Sit $e=kp^{\nu }\!$ ita ut $k$ factorem $p$ non involvat, adeoque numerum $p-1$ metiatur. Tum congruentia $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p$ habebit $k$ radices diversas, quibus per $A$, $B$, $C$ etc. designatis, radix quaecunque eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n}\!$ congrua esse debet secundum modulum $p$ alicui numerorum $A$, $B$, $C$ etc. Iam demonstrabimus, congruentiam $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ habere $p^{\nu }\!$ radices ipsi $A$, totidem ipsi $B$ etc. congruas secundum modulum $p$. Quo facto omnium radicum numerus erit $kp^{\nu }\!$ sive $e$, uti diximus. Illam vero demonstrationem ita adornabimus, ut primo ostendamus, si $\alpha$ fuerit radix ipsi $A$ secundum modulum $p$ congrua, etiam $\alpha +p^{n-\nu },\alpha +2p^{n-\nu },\alpha +3p^{n-\nu },\ldots \alpha +(p^{\nu }-1)p^{n-\nu }$ fore radices; secundo, numeros ipsi $A$ secundum modulum $p$ congruos alios quam qui in forma $\alpha +hp^{n-\nu }\!$ sint comprehensi (denotante $h$ integrum quemcunque), radices esse non posse: unde manifesto $p^{\nu }\!$ radices diversae habebuntur, et non plures: atque idem etiam de radicibus, quae singulis $B$, $C$ etc. sunt congruae, locum habebit: tertio docebimus, quomodo semper radix, ipsi $A$ secundum $p$ congrua, inveniri possit.

86.

Theorema. Si uti in art. praec. $t$ est numerus per $p^{\nu }\!$, neque vero per $p^{\nu +1}$ divisibilis, erit $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}\equiv 0{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$, at $\textstyle \equiv \alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +\nu +1}}}$

Theorematis pars posterior locum non habet, quando $p=2$ simulque $\mu =1$.

Demonstratio huius theorematis ex evolutione potestatis binomii peti posset, si ostenderetur omnes terminos post secundum per $p^{\mu +\nu +1}\!$ divisibiles esse. Sed quoniam consideratio denominatorum coëfficientium in aliquot ambages deducit, methodum sequentem praeferimus.

Ponamus primo $\mu >1$ atque $\nu =1$, eritque propter ${\begin{aligned}x^{t}-y^{t}=&\ \ (x-y)(x^{t-1}+x^{t-2}y+x^{t-3}y^{2}+\mathrm {etc.} +y^{t-1})\\(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}=&\ \ hp^{\mu }((\alpha +hp^{\mu })^{t-1}+(\alpha +hp^{\mu })^{t-1}\alpha +\mathrm {etc.} +\alpha ^{t-1})\end{aligned}}$ At est $\textstyle \alpha +hp^{\mu }\equiv \alpha {\pmod {p^{2}}}$
quare quisque terminus $(\alpha +hp^{\mu })^{t-1}\!$, $(\alpha +hp^{\mu })^{t-2}\alpha$ etc. erit $\textstyle \equiv \alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$, adeoque omnium summa $\textstyle \equiv t\alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$ sive formae $t\alpha ^{t-1}+Vp^{2}$ denotante $V$ numerum quemcunque. Hinc $(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}$ erit formae $\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t+Vhp^{\mu +2}$, i. e. $\textstyle \equiv \alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +2}}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {p^{\mu +1}}}$ Pro hoc itaque casu theorema est demonstratum.

Iam si theorema pro aliis ipsius $\nu$ valoribus verum non esset, manente etiamnum $\mu >1$, limes aliquis necessario daretur, usque ad quem theorema semper verum foret, ultra vero falsum. Sit minimus valor ipsius $\nu$, pro quo falsum est $=\varphi$, unde facile perspicitur, si $t$ per $p^{\varphi -1}\!$ non autem per $p^{\varphi }\!$ fuerit divisibilis, theorema adhuc verum esse, at si loco ipsius $t$ substituatur $tp$, falsum. Habemus itaque $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{t}\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +\varphi }}}$ sive $=\alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t+up^{\mu +\varphi }$ denotante $u$ numerum integrum. At quia pro $\nu =1$ theorema iam est demonstratum, erit $\textstyle (\alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t+up^{\mu +\varphi })^{p}\equiv$ $\textstyle \alpha ^{tp}+\alpha ^{tp-1}hp^{\mu +1}t+\alpha ^{tp-t}up^{\mu +\varphi +1}{\pmod {p^{\mu +\varphi +1}}}$ adeoque etiam $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{tp}\equiv \alpha ^{tp}+\alpha ^{tp-1}hp^{\mu }tp{\pmod {p^{\mu +\varphi +1}}}$ i. e. theorema etiam verum, si loco ipsius $t$ substituitur $tp$, i. e. etiam pro $\nu =\varphi$, contra hypothesin. Unde manifestum pro omnibus ipsius $\nu$ valoribus theorema verum esse.

87.

Superest casus ubi $\mu =1$. Per methodum prorsus similem ei qua in art. praec. usi sumus, sine adiumento theorematis binomialis demonstrari potest, esse ${\begin{alignedat}{1}\textstyle (\alpha +&hp)^{t-1}\equiv &\ \alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-1)hp{\pmod {p^{2}}}\\\textstyle \alpha (\alpha +&hp)^{t-2}\equiv &\ \alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-2)hp\\\textstyle \alpha \alpha (\alpha +&hp)^{t-3}\equiv &\ \alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-3)hp\\\textstyle &\mathrm {etc.} \end{alignedat}}$ unde aggregatum erit (quia partium raultitudo $=t$) $\textstyle \equiv t\alpha ^{t-1}+{\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp{\pmod {p^{2}}}$

At quoniam $t$ per $p$ divisibilis, etiam ${\tfrac {(t-1)t}{2}}$ per $p$ divisibilis erit in omnibus casibus excepto eo ubi $p=2$ de quo iam in art. praec. monuimus. In reliquis autem casibus erit $\textstyle {\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$, adeoque etiam illud aggregatum $\textstyle \equiv t\alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$ ut in art. praec. In reliquis demonstratio hic eodem modo procedit ut istic.

Colligimus igitur generaliter, unico casu $p=2$ excepto, esse $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{t}\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et $(\alpha +hp^{\mu })^{t}$ non $\equiv \alpha ^{t}\!$ pro quovis modulo qui sit altior potestas ipsius $p$, quam haec $p^{\mu +\nu }\!$, quoties quidem $h$ per $p$ non est divisibilis, atque $p^{\nu }\!$ potestas suprema ipsius $p$ quae numerum $t$ dividit.

Hinc protinus derivantur propositiones 1. et 2, quas art. 85 demonstrandas nobis proposueramus: scilicet

primo, si $\alpha ^{t}\equiv 1$, erit etiam $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu })^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$;

secundo si numerus aliquis $\alpha '$ ipsi $A$ adeoque etiam ipsi $\alpha$ secundum modulum $p$ congruus, neque vero huic secundum modulum $p^{n-\nu }$, congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ satisfaceret , ponamus $\alpha '$ esse $=\alpha +lp^{\lambda }\!$ ita ut $l$ per $p$ non sit divisibilis, eritque $\lambda <n-\nu$, tunc autem $(\alpha +lp^{\lambda })^{t}\!$ secundum modulum $p^{\lambda +\nu }\!$ ipsi $\alpha ^{t}$ congruus erit, non autem secundum modulum $p^{n}\!$, quae est altior potestas, quare $\alpha '$ radix congruentiae $x^{t}\equiv 1$ esse nequit.

88.

Tertium vero fuit radicem aliquam congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$, ipsi $A$ congruam, invenire. Ostendemus hic tantummodo, quomodo hoc fieri possit, si iam radix eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n-1}\!$ innotuerit; manifesto hoc sufficit, quum a modulo $p$ pro quo $A$ est radix, ad modulum $p^{2}\!$, sicque deinceps ad omnes potestates consecutivas progredi possimus.

Esto itaque $\alpha$ radix congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n-1}}}$, quaeriturque radix eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n}\!$, ponatur haec $=\alpha +hp^{n-\nu -1}$, quam formam eam habere debere ex art. praec. sequitur (casum ubi $\nu =n-1$ postea seorsim considerabimus : maior vero quam $n-1$, $\nu$ esse nequit). Debet itaque esse $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n-1}}}$ At $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$
Si itaque $h$ ita determinatur, ut fiat $\textstyle 1\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$; sive (quia per hyp. $\textstyle 1\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{n-1}}}$ atque $t$ per $p^{\nu }\!$ divisibilis) ita ut fiat $\textstyle {\frac {\alpha ^{t}-1}{p^{n-1}}}+\alpha ^{t-1}h{\frac {t}{p^{\nu }}}$ per $p$ divisibilis, quaesito satisfactum erit. Hoc autem semper fieri posse ex Sect. praec. manifestum, quum $t$ per altiorem ipsius $p$ potestatem quam $p^{\nu }\!$ dividi non posse hic supponamus, adeoque $\alpha ^{t-1}{\frac {t}{p^{\nu }}}$ ad $p$ sit primus.

Si vero $\nu =n-1$ i. e. $t$ per $p$ sive etiam per altiorem ipsius $p$ potestatem divisibilis, quivis valor $A$ congruentiae $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p$ satisfaciens eidem etiam secundum modulum $p^{n}\!$ satisfaciet. Sit enim $t=p^{n-1}\tau$, eritque $\textstyle \tau \equiv t{\pmod {p-1}}$: quare quoniam $\textstyle A^{t}\equiv 1{\pmod {p}}$, erit etiam $\textstyle A^{\tau }\equiv 1{\pmod {p}}$. Ponatur itaque $A^{\tau }=1+hp$ eritque $\textstyle A^{t}=(1+hp)^{p^{n-1}}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ art. 87.

89.

Omnia quae art. 57 sqq. adiumento theorematis, congruentiam $x^{t}\equiv 1$ plures quam $t$ radices diversas non habere eruimus, etiam pro modulo qui est numeri primi potestas locum habent, et si radices primitivae vocantur numeri, qui ad exponentem $p^{n-1}(p-1)$ pertinent, sive in quorum periodis omnes numeri per $p$ non divisibiles inveniuntur, etiam hic radices primitivae exstabunt. Omnia autem quae supra de indicibus eorumque usu tradidimus, necnon de solutione congruentiae $x^{t}\equiv 1$, ad hunc quoque casum applicari possunt. Quae quum nulli difficultati obnoxia sint, omnia ex integro repetere superfluum foret. Praeterea radices congruentiae $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p^{n}\!$ e radicibus eiusdem congruentiae secundum $p$ deducere docuimus. Sed de eo casu ubi potestas aliqua numeri $2$ est modulus, quia supra exceptus fuit, aliqua adhuc sunt adiicienda.

Moduli qui sunt potestates binarii.

90.

Si potestas aliqua numeri $2$, altior quam secunda, puta $2^{n}\!$ pro modulo accipitur, numeri cuiusvis imparis potestas exponentis $p^{n-2}\!$, unitati est congrua. Ex. gr. $\textstyle 3^{8}=6561\equiv 1{\pmod {32}}$.

Quivis enim numerus impar vel sub forma $1+4h$, vel sub hac $-1+4h$ comprehenditur: unde propositio protinus sequitur (theor. art. 86).

Quoniam igitur exponens, ad quem quicunque numerus impar secundum modulum $2^{n}$ pertinet, divisor ipsius $2^{n-2}$ esse debet, quivis ad aliquem horum numerum pertinebit $1,2,4,8\ldots 2^{n-2}$, ad quemnam vero pertineat, ita facile diiudicatur. Sit numerus propositus $=4h\pm 1$, atque exponens maximae potestatis numeri $2$, quae ipsum $h$ metitur, $=m$ (qui etiam $=0$ esse potest, quando scilicet $h$ est impar); tum exponens, ad quem numerus propositus pertinet, erit $2^{n-m-2}$, siquidem $n>m+2$ si autem $n=$ vel $<m+2$, numerus propositus est $\equiv \pm 1$ adeoque vel ad exponentem $1$ vel ad exponentem $2$ pertinebit. Numerum enim formae $\pm 1+2^{m+2}k$, (quae huic aequivalet , $4h\pm 1$) ad potestatem exponentis $2^{n-m-2}$ elevatum unitati secundum modulum $2^{n}$ congruum fieri, ad potestatem autem exponentis, qui est inferior numeri $2$ potestas, incongruum, ex art. 86 nullo negotio deducitur. Numerus itaque quicunque formae $8k+3$ vel $8k+5$ ad exponentem $2^{n-2}$ pertinebit.

91.

Hinc patet eo sensu, quo supra expressionem accepimus, radices primitivas hic non dari, nullos scilicet numeros, quorum periodus omnes numeros modulo minores ad ipsumque primos amplectatur. Attamen facile perspicitur, analogon hic haberi. Invenitur enim, numeri formae $8k+3$ potestatem exponentis imparis semper esse formae $8k+3$, potestatem autem exponentis paris, semper formae $8k+1$; nulla igitur potestas formae $8k+5$ aut $8k+7$ esse potest. Quare quum periodus numeri formae $8k+3$, ex $2^{n-2}$ terminis diversis constet, quorum quisque aut formae $8k+3$ aut huius $8k+1$, neque plures huiusmodi numeri modulo minores dentur quam $2^{n-2}$, manifesto quivis numerus formae $8k+1$ vel $8k+3$ congruus est secundum modulum $2^{n}$ potestati alicui numeri cuiuscunque formae $8k+3$. Simili modo ostendi potest periodum numeri formae $8k+5$ comprehendere omnes numeros formarum $8k+1$ et $8k+5$. Si igitur numerus formae $8k+5$ pro basi assumitur, omnes numeri formae $8k+1$ et $8k+5$, positive, omnesque formae $8k+3$ et $8k+7$, negative sumti, indices reales nanciscentur, et quidem hic indices secundum $2^{n-2}$ congrui pro aequivalentibus sunt habendi. Hoc modo tabula nostra I intelligenda, ubi pro modulis $16$, $32$ et $64$ (namque pro modulo $8$ nulla tabula necessaria erit) semper numerum $5$ pro basi accepimus. Ex. gr. numero $19$, qui est formae $8n+3$ adeoque negatim sumendus, respondet pro modulo $64$ index $7$, id quod significat esse $\textstyle 5^{7}\equiv -19{\pmod {64}}$. Numeris autem formarum $8n+1$, $8n+5$ negative, atque nunieris formarum $8n+3$, $8n+7$ positive acceptis, indices quasi imaginarii tribuendi forent. Quos introducendo calculus indicum ad algorithmum perquam simplicem reduci potest. Sed quoniam, si haec ad omnem rigorem exponere vellemus, nimis longe evagari oporteret, hoc negotium ad aliam occasionem nobis reservamus, quando forsan fusius quantitatum imaginariarum theoriam, quae nostro quidem iudicio a nemine hactenus ad notiones claras est reducta, pertractare suscipiemus. Periti hunc algorithmum facile ipsi eruent: qui minus sunt exercitati, perinde tamen tabula hac uti poterunt, ut ii qui recentiorum commenta de logarithmis imaginariis ignorant, logarithmis utuntur, si quidem principia supra stabilita probe tenuerint.

Moduli e pluribus primis compositi.

92.

Secundum modulum e pluribus primis compositum tantum non omnia quae ad residua potestatum pertinent, ex theoria congruentiarum generali deduci possunt; quia vero infra congruentias quascunque secundum modulum e pluribus primis compositum ad congruentias, quarum modulus est primus aut primi potestas, reducere fusius docebimus, non est quod huic rei multum hic immoremur. Observamus tantum, bellissimam proprietatem, quae pro reliquis modulis locum habeat, quod scilicet semper exstant numeri quorum periodus omnes numeros ad modulum primos complectatur, hic deficere, excepto unico casu, quando scilicet modulus est duplum numeri primi, aut potestatis numeri primi. Si enim modulus $m$ redigitur ad formam $A^{a}B^{b}C^{c}$ etc., designantibus $A$, $B$, $C$ etc. numeros primos diverses, praeterea $A^{a-1}(A-1)$ designatur per $\alpha$, $B^{b-1}(B-1)$ per $\beta$ etc. denique $z$ est numerus ad $m$ primus; erit $\textstyle z^{\alpha }\equiv 1{\pmod {A^{a}}}$, $\textstyle z^{\beta }\equiv 1{\pmod {B^{b}}}$ etc. Quodsi igitur $\mu$ est minimus numerorum $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. dividuus communis, erit $z^{\mu }\equiv 1$ secundum omnes modulos $A^{a}\!$, $B^{b}\!$ etc. adeoque etiam secundum $m$, cui illorum productum est aequale. At excepto casu, ubi $m$ est duplum numeri primi aut potestatis numeri primi, numerorum $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. dividuus communis minimus, ipsorum producto est minor (quoniam numeri $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. inter se primi esse nequeunt sed certe divisorem $2$ communem habent). Nullius itaque numeri periodus tot terminos comprehendere potest, quot dantur numeri ad modulum primi ipsoque minores, quia horum numerus producto ex $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. est aequalis. Ita ex. gr. pro $m=1001$ cuiusvis numeri ad $m$ primi potestas exponentis $60$ unitati est congrua, quia $60$ est dividuus communis numerorum $6$, $10$, $12$. — Casus autem ubi modulus est duplum numeri primi aut duplum potestatis numeri primi, illi ubi est primus aut primi potestas, prorsus est similis.

93.

Scriptorum in quibus alii geometrae de argumento in hac sectione pertractato egerunt, iam passim mentio est facta. Eos tamen qui quaedam fusius, quam nobis brevitas permisit, explicata desiderant, ablegamus imprimis ad sequentes ill. Euleri commentationes, ob perspicuitatem, qua vir summus prae omnibus semper excelluit, maxime commendabiles.
Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta Comm. nov. Petr. T. VII p. 49 sqq.
Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia. Ibid. T. XVIII p. 85 sqq.

Adiungi bis possunt Opusculorum analyt. T. I, dissertt. 5 et 8.

1. In comment. anteriore vir summus ad scopum nondum pervenerat. Comm. Petr. T. VI p. 106. — In controversia famosa inter Maupertuis et König, a principio actionis minimae orta, sed mox ad res heterogeneas egressa, König in manibus se habere dixit autographum Leibnitianum, in quo demonstratio huius theorematis cum Euleriana prorsus conspirans contineatur. Appel au public, p. 106. Licet vero fidem huic testimonio denegare nolimus, certe Leibnitius inventum suum numquam publicavit. Conf. Hist.de l'Ac. de Prusse, A. 1750 p. 530.
2. In eo autem differunt, quod in logarithmis systematum numerus est infinitus, hic vero tantus, quantus numerus radicum primitivarum. Manifeste enim bases congruae idem systema generant.
3. Quisquis sponte perspiciet, non opus esse has potestates ipsas novisse, quum cuiusvis residuum minimum facile ex residuo minimo potestatis praecedentis obtineri possit.
4. Quomodo hoc fieri possit, ex art. 18 haud difficulter derivatur. Resolvatur $y$ in factores tales, qui sint aut numeri primi diversi aut numerorum primorum diversorum potestates. Horum quisque alterutrum numerorum $t$, $u$ metietur (sive etiam utrumque). Adscribantur singuli aut numero $t$ aut numero $u$, prout illum aut hunc metiuntur: quando aliquis utrumque metitur, arbitrarium est, cui adscribatur: productum ex iis qui ipsi $t$ adscripti sunt, sit $=m$, productum e reliquis $=n$, facileque perspicietur $m$ ipsum $t$, $n$ ipsum $u$ metiri, atque esse $mn=y$.
5. Determinentur scilicet numeri ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ etc. ita, ut sit $\textstyle {\mathfrak {a}}\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {b^{\beta }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ ; $\textstyle {\mathfrak {b}}\equiv 1{\pmod {b^{\beta }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {a^{\alpha }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ etc. (vid. art. 32), unde fiet $\textstyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}}+\mathrm {etc.} \equiv 1{\pmod {p-1}}$, (art. 19). Iam si radix primitiva quaecunque, $r$, per productum $ABC$ etc. exhiberi debet, accipiatur $A\equiv r^{\mathfrak {a}}\!$, $B\equiv r^{\mathfrak {b}}\!$; $C=r^{\mathfrak {c}}\!$ etc., atque pertinebunt $A$ ad exponentem $a^{\alpha }\!$, $B$ ad exponentem $b^{\beta }\!$ etc.; productum ex omnibus $A$, $B$, $C$etc. erit $\textstyle \equiv r{\pmod {p}}$; denique facile perspicitur $A$, $B$, $C$ etc. alio modo determinari non posse.