Disquisitiones arithmeticae/Additamenta

by Carolus Fridericus Gauss

Carolus Fridericus Gauss

Disquisitiones arithmeticae

Additamenta

1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide

ADDITAMENTA.

---

Ad art. 28.   Solutio aequationis indeterminatae $ax=by\pm 1$ non primo ab ill. (ut illic dicitur) sed iam a geometra 17^mi saeculi Bachet de Meziriac, celebri Diophanti editore et commentatore, perfecta est, cui ill. La Grange hunc honorem vindicavit (Add. à l'Algèbre d'Euler p. 525, ubi simul methodi indoles indicata est). Bachet inventum suum in editione secunda libri Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, 1624, tradidit; in editione prima (à Lyon 1612), quam solam mihi videre licuit, nondum exstat, verumtamen iam annuntiatur.

Ad artt. 151, 296, 297.   Ill. Le Gendre demonstrationem suam denuo exposuit in opere praeclaro Essai d'une théorie des nombres p. 214 sqq., attamen ita, ut nihil essentiale mutatum sit: quamobrem haec methodus etiamnum omnibus obiectionibus in art. 297 prolatis obnoxia manet. Theorema quidem (cui una suppositio innititur), in quavis progressione arithmetica $l$, $l+k$, $l+2k$ etc., numeros primos reperiri, si $k$ et $l$ divisorem communem non habeant, fusius in hoc opere consideratum est p. 12 sqq.: sed rigori geometrico nondum satisfactum esse videtur. Attamen tunc quoque, quando hoc theorema plene demonstratum erit: suppositio altera supererit (dari numeros primos formae $4n+3$, quorum non-residuum quadraticum sit numerus primus datus formae $4n+1$ positive sumtus), quae an rigorose demonstrari possit, nisi theorema fundamentale ipsum iam supponatur, nescio. Ceterum observare oportet, ill. Le Gendre hanc posteriorem suppositionem non tacite assumsisse, sed ipsum quoque eam non dissimulavisse, p. 221.

Ad artt. 288... 293. De eodem argumento, quod hic tamquam applicatio specialis theoriae formarum ternariarum exhibetur, et respectu rigoris et generalitatis ita absolutum esse videtur, ut nihil amplius desiderari possit, ill. Le Gendre in parte III operis sui p. 321…400 disquisitionem multo ampliorem instituit^[1]. Principiis et methodis usus est a nostris prorsus diversis: attamen hac via compluribus difficultatibus implicatus est, quae effecerunt, ut theoremata palmaria demonstratione rigorosa munire non licuerit. Has difficultates ipse candide indicavit: sed ni fallimur, hae quidem facilius forsan auferri poterunt, quam ea, quod in hac quoque disquisitione theorema modo memoratum (In quavis progressione arithmetica etc.) suppositum est, p. 371 annot. in fine.

Ad art. 306 VIII. In chiliade tertia determinantium negativorum reperti sunt 37 irregulares, inter quos 18 habent indicem irregularitatis 2, et 19 reliqui indicem 3.

Ad eundem X. Quaestionem hic propositam plene solvere nuper successit, quam disquisitionem plures partes tum Arithmeticae sublimioris tum Analyseos mirifice illustrantem in continuatione huius operis trademus quam primum licebit. Eadem docuit, coëfficientem $m$ in art. 304, esse $=\gamma \pi =2,3458847616$, designante $\gamma$ eandem quantitatem ut in art. 302, et $\pi$ ut ibidem semicircumferentiam circuli, cuius radius $1$.

1. Vel nobis non monentibus lectores cavebunt, ne nostras formas ternarias cum eo, quod ill. Le Gendre forme trinaire d'un nombre dixit, confundant. Scilicet per hanc expressionem indicavit decompositionem numeri in tria quadrata.